Basler Problem

Das Basler Problem ist ein mathematisches Problem, das für längere Zeit ungelöst war und mit dem sich anfangs vor allem Basler Mathematiker befassten. Es handelt sich um die Frage nach der Summe der reziproken Quadratzahlen, also dem Wert der Reihe

$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} = \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots=1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\cdots.$

Lösungsversuche

1644 fragte sich der Italiener Pietro Mengoli, ob diese Summe konvergiere, und wenn ja, gegen welchen Wert, konnte diese Frage aber nicht beantworten. Etwas später erfuhr der Basler Mathematiker Jakob Bernoulli vom Problem, fand jedoch auch keine Lösung (1689). Daraufhin versuchten sich mehrere Mathematiker an der Fragestellung, waren aber alle erfolglos. 1726 begann sich Leonhard Euler, ebenfalls Basler Mathematiker und Schüler von Jakob Bernoullis Bruder Johann, mit dem Problem zu befassen. 1735 fand er die Lösung und veröffentlichte sie in seinem Werk "De Summis Serierum Reciprocarum".

Eulers Lösung

Für seine ursprüngliche Lösung betrachtete Euler die Taylorreihe der Kardinalsinusfunktion, also

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + - \cdots$

und setzte sie mit der Produktdarstellung jener Funktion gleich.

$\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2} \right) = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2} \right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2} \right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2} \right) \cdots = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + - \cdots$

Durch Ausmultiplizieren und Sortieren nach x² erhält man:

$-x^2 \left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{2^2\pi^2} + \frac{1}{3^2\pi^2} + \frac{1}{4^2\pi^2} + \cdots \right) = - \frac{x^2}{3!} = - \frac{x^2}{6}$

und daraus folgerte Euler seine Lösung:

$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} = 1,644934 \ldots$

Auch verallgemeinerte Euler das Problem. Er untersuchte dafür die später riemannsche ζ-Funktion genannte Funktion

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots$

und fand einen allgemeinen geschlossenen Ausdruck für alle geradzahligen natürlichen Argumente s = 2k, nämlich

$\zeta(2k) = (-1)^{k-1} \frac{(2\pi)^{2k}}{2(2k)!} B_{2k},$

wobei B_2k die 2k-te Bernoulli-Zahl darstellt. Eine allgemeine Formel für ungeradzahlige natürliche Argumente s (siehe z.B. Apery-Konstante) ist bisher unbekannt.

Weblinks

• Leonhard Euler: De Summis Serierum Reciprocarum (lateinisch, englisch)
• Evaluating ζ(2) - 14 Beweise für den Wert von ζ(2) zusammengestellt von Robin Chapman auf einer Webseite der University of Exeter (pdf, engl.)