Widerspruchsfreiheit

In der Logik gilt eine Menge Φ von Aussagen als konsistent oder widerspruchsfrei, wenn aus ihr kein Widerspruch abgeleitet werden kann. Das bedeutet in der Prädikatenlogik, dass es keinen Ausdruck $\varphi$ gibt derart, dass sowohl $\varphi$ als auch $\neg \varphi$ aus Φ ableitbar sind.^[1]

Die Widerspruchsfreiheit ist von Bedeutung für die Brauchbarkeit wissenschaftlicher Theorien, logischer Kalküle oder mathematischer Axiomensysteme.

Die relative Konsistenz bedeutet, dass in einem als konsistent angenommenen Axiomensystem die Erweiterung durch Zusatzaxiome konsistent ist.

Definitionen

Man betrachtet stets einen gegebenen Kalkül mit einem Ableitbarkeitsoperator $\vdash$, bei dem $A\vdash B$ soviel bedeutet wie "aus $A\,$ ist $B\,$ ableitbar".

Die Konsistenz (oder Widerspruchsfreiheit) wird dann sowohl für eine Formelmenge als auch für den ganzen Kalkül definiert:^[2]

• Eine Formelmenge $\Gamma\,$ heißt konsistent im Kalkül, wenn es eine Formel A gibt, für die $\Gamma \vdash A$ nicht gilt. In Worten: Nicht alles kann aus Γ abgeleitet werden.
• Der Kalkül heißt konsistent, wenn die leere Formelmenge konsistent im Kalkül ist.
• Eine nicht konsistente Formelmenge im Kalkül heißt inkonsistent im Kalkül.
• Ein nicht konsistenter Kalkül heißt inkonsistent.
• Die Formelmenge $\Alpha\,$ heißt konsistent relativ zu $\Gamma\,$ im Kalkül, falls aus der Konsistenz der Formelmenge $\Gamma\,$ folgt, dass auch die Vereinigung beider Formelmengen konsistent im Kalkül ist.

Diese Definitionen sind für beliebige Kalküle formuliert. In der klassischen Logik und in der intuitionistischen Logik kann die Konsistenz auch gleichwertig dadurch definiert werden, dass $\Gamma \vdash A\and\neg A$ für keine Formel $A\,$ gilt.^[3] Denn aus der Inkonsistenz folgt die Ableitbarkeit jeder Formel, also auch aller Widersprüche der Form $A\ \and \neg A$, und umgekehrt folgt aus jedem Widerspruch in diesen Logiken jede beliebige Formel nach der Regel ex contradictione sequitur quodlibet. Es gibt aber auch Logiken, in denen diese Regel nicht gilt, sogenannte Parakonsistente Logiken; zu ihnen passt diese Definitionsvariante nicht.

Die Konsistenz eines Kalküls kann auch durch ein Modell gezeigt werden, indem die semantische Korrektheit nachgewiesen wird.

Inkonsistenzbeweise

Zur Widerspruchsfreiheit und Konsistenz gehört als Kehrseite die Inkonsistenz, die meist einfach zu zeigen ist, weil hierzu nur eine einzige Ableitung eines Widerspruchs nötig ist. Das veranschaulicht ein Beispiel:

Folgende Aussagen bilden eine widersprüchliche Aussagenmenge im Syllogistikkalkül, insbesondere ist Aussage (4) nicht widerspruchsfrei relativ zu den Aussagen (1)(2)(3):

(1) Alle Menschen sind Lebewesen.

(2) Alle Vorfahren von Sokrates sind Menschen.

(3) Alle Vorfahren von Sokrates sind tot.

(4) Keine Toten sind Lebewesen.

Aus (1) und (2) folgt mit dem Syllogismus Barbara: (5) Alle Vorfahren von Sokrates sind Lebewesen. Aus (4) und (5) folgt mit dem Syllogismus Cesaro: (6) Einige Vorfahren von Sokrates sind nicht tot. (6) steht im Widerspruch zu (3).

Mit den üblichen Formeln lauten (1) MaL, (2) VaM, (3) VaT, (4) TeL, (5) VaL, (6) VoT und der formale Inkonsistenzbeweis: MaL, VaM $\vdash$ VaL (Barbara). TeL, VaL $\vdash$ VoT (Cesaro). VaT, VoT $\vdash$ VaT $\and$$\neg$VaT (kontradiktorisch).

Der berühmteste einfache klassische Inkonsistenzbeweis ist die Ableitung der Russellschen Antinomie in Gottlob Freges Arithmetik-Kalkül, den Bertrand Russell 1902 entdeckte.^[4] Ein allgemeinerer Inkonsistenzbeweis (für klassische, intuitionistische und parakonsistente Logiken) ist die Ableitung von Currys Paradoxon 1942, die die relative Inkonsistenz einer selbstbezüglichen Aussage zeigt.

Viele populäre Antinomien und Paradoxone, etwa das Lügner-Paradoxon, beziehen sich nicht auf einen Kalkül, sondern sind Trugschlüsse, die auf intuitiven, undurchsichtigen, unerlaubten Schlussweisen beruhen. Solche Beispiele zeigen, wie wichtig es ist, dass das logische Schließen in Kalkülen geregelt wird.

Widerspruchsfreiheitsbeweise

Das Bedürfnis nach Widerspruchsfreiheitsbeweisen trat an der Wende zum 20. Jahrhundert auf, als in der Mengenlehre Widersprüche bekannt wurden. Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre, entdeckte sie selbst und teilte die erste Cantorsche Antinomie 1897 David Hilbert brieflich mit.^[5] 1899 gab Hilbert einen relativen Widerspruchfreiheitsbeweis der Geometrie zur Arithmetik reeller Zahlen.^[6] Im Jahr darauf stellte er dann die Frage „Sind die arithmetischen Axiome widerspruchsfrei?“ als zweites seiner berühmten mathematischen Probleme.^[7] Russell machte 1903 die Widerspruchsfreiheitsproblematik allgemein bewusst und entwarf zur Lösung 1903-1908 seine Typentheorie, die 1910 in die „Principia mathematica“ einging. Ernst Zermelo schuf 1907 die axiomatische Mengenlehre, die sich in der Mathematik später durchsetzte in Form der erweiterten Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF oder ZFC. In ihr konnten bisher keine Widersprüche mehr abgeleitet werden.

Um aber Sicherheit zu erlangen, dass grundsätzlich keine Widersprüche auftreten können, entwickelte Hilbert ab 1918 sein Programm, die Widerspruchsfreiheit der Logik zu beweisen,^[8] und skizzierte Methoden für Widerspruchsfreiheitsbeweise, die anspruchsvoller sind, da für alle möglichen Ableitungen Widersprüche ausgeschlossen werden müssen.^[9][10] Sein Plan wurde als Hilberts Programm bekannt und konnte für zentrale Gebiete der Logik erfolgreich umgesetzt werden:

• Die Widerspruchsfreiheit der klassischen Aussagenlogik wurde 1918/1926 von Paul Bernays^[11] und 1921 von Emil Leon Post^[12] bewiesen.
• Die Widerspruchsfreiheit der klassischen Prädikatenlogik erster Stufe wurde 1925 von John von Neumann gezeigt.^[13]

Hilberts Programm, das sich auf finite metalogische Beweismittel beschränkte, versagte aber bei der Arithmetik und darauf aufbauenden Axiomensystemen, was Kurt Gödel in seinen Unvollständigkeitssätzen von 1930 zeigte.^[14] Spätere Mathematiker modifizierten daher Hilberts Programm, indem sie die Beweismittel erweiterten (z.B. um transfinite Methoden), und erzielten damit neue Ergebnisse:

• Die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik wurde 1936 von Gerhard Gentzen bewiesen.^[15]
• Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre (ohne Unendlichkeitsaxiom) wurde 1936 von Wilhelm Ackermann gezeigt im Rückgriff auf Gentzen.^[16]
• Die Widerspruchsfreiheit der verzweigten Typentheorie und der klassischen Analysis wurde 1951 von Paul Lorenzen nachgewiesen.^[17]

Neue, von Hilberts Programm abweichende Wege beschritten vorher schon Neumann und Zermelo bei ihrer Einführung der heute etablierten ZF-Mengenkalküle (Neumanns Vorform der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre). Sie bildeten innerhalb der Mengenlehre Modelle der Mengenlehre und nutzten dies für Widerspruchsfreiheitsbeweise:

• Die Konsistenz des Fundierungsaxioms relativ zu ZF ohne Fundierungsaxiom wurde 1929 von John von Neumann durch ein Modell gezeigt ^[18]
• Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre (ZFC ohne Unendlichkeitsaxiom) wurde 1930 von Ernst Zermelo gezeigt mit einem Modell in ZFC, ebenso die Widerspruchsfreiheit von ZFC in einer Meta-Mengenlehre mit stark unerreichbaren Kardinalzahlen.^[19]

Wegen Gödels Unvollständigkeitssätzen ist aber die Widerspruchsfreiheit der ZF-Mengenlehre ohne wesentlich stärkere Meta-Axiome nicht beweisbar. Deshalb bleibt im Rahmen der üblichen Mengenlehre ZF die Frage nach ihrer eigenen Widerspruchsfreiheit unentscheidbar. Gödel ging von ihr aus und konnte damit einen relativen Konsistenzbeweis für umstrittene Zusatzaxiome zu ZF führen:

• Die Konsistenz des Auswahlaxioms und der verallgemeinerten Kontinuumshypothese relativ zu ZF wurde 1940 von Kurt Gödel bewiesen.^[20]

Einzelnachweise

1. ↑ H.-D. Ebbinhaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik. Spektrum, Akad. Verl., Heidelberg 1996, ISBN 3-8274-0130-5.
2. ↑ Hilbert/Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin, Heidelberg, 6. Auflage, 1972, S.99
3. ↑ Hilbert/Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin, Heidelberg, 1. Auflage 1928 bis zur 3. Auflage 1949, dort S. 31
4. ↑ Russells Brief an Frege vom 16. Juni 1902. In: Gottlob Frege: Briefwechsel mit D.Hilbert, E. Husserl, B. Russell, ed. G. Gabriel, F. Kambartel, C.Thiel, Hamburg 1980, S. 59f, http://books.google.de/books?id=LH0I5fSzhtkC&pg=PA59#v=onepage&q=&f=false
5. ↑ Brief von Cantor an Hilbert vom 26. September 1897, in: Georg Cantor, Briefe, ed. H. Meschkowski und W. Nilson, Berlin, Heidelberg, New York 1999, S. 388
6. ↑ David Hilbert: Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899
7. ↑ David Hilbert: Mathematische Probleme, 1900, in: Archiv für Mathematik und Physik, 3. Reihe, Band I (1901), 44-63, 213-237
8. ↑ David Hilbert: Axiomatisches Denken, 1918, in: Mathematische Annalen 78 (1918), 405-415
9. ↑ David Hilbert: Neubegründung der Mathematik, 1922, in: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburger Universität, Band I (1922), 157-177
10. ↑ David Hilbert: Die logischen Grundlagen der Mathematik, 1922, in: Mathematische Annalen 88 (1923), 151-165
11. ↑ Paul Bernays: Axiomatische Untersuchung des Aussagenkalkuls der „Principia Mathematica“, Habilitationsschrift Göttingen 1918, gekürzt abgedruckt in: Mathematische Zeitschrift 25 (1926), 305-320
12. ↑ Emil Leon Post: Introduction to a General Theory of Elementary Propositions, in: American Journal of Mathematics 43 (1921), 163-185
13. ↑ John von Neumann: Zur Hilbertschen Beweistheorie, 1925, in: Mathematische Zeitschrift 26 (1927), 1-46
14. ↑ Kurt Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, 1930, in: Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), 173-198
15. ↑ Gerhard Genzten: Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie, in: Mathematische Annalen, 112 (1936), 493-565
16. ↑ Wilhelm Ackermann: Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre, 1936, in: mathematische Annalen 114 (1937), 305-315
17. ↑ Paul Lorenzen: Die Widerspruchsfreiheit der klassischen Analysis, in: Mathematische Zeitschrift 54 (1951) 1-24
18. ↑ John von Neumann: Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle) 160 (1929), 227-241
19. ↑ Ernst Zermelo: Grenzzahlen und Mengenbereiche, in: Fundamenta Mathematicae 16 (1930), 29-47
20. ↑ Kurt Gödel: The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, in: Annals of Mathematical Studies, Volume 3, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1940, ed. in: Collected Works II, Oxford 1990, 33-101

Siehe auch

• Satz vom Widerspruch
• wissenschaftliche Methode
• Falsifikation
• ω-konsistente Theorie