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Élie Cartan
Élie Joseph Cartan (* 9. April 1869 in Dolomieu, Dauphiné; † 6. Mai 1951 in Paris) war ein französischer Mathematiker, der bedeutende Beiträge zur Theorie der Lie-Gruppen und ihrer Anwendungen lieferte. Er leistete darüber hinaus bedeutende Beiträge zur mathematischen Physik und zur Differentialgeometrie.
Inhaltsverzeichnis
Leben
Cartans Vater war Schmied und die Familie hätte ihm keine höhere Ausbildung finanzieren können, wenn sein Talent nicht einem Schulinspektor bei dem Besuch der Grundschule in Dolomieu aufgefallen wäre. Er erhielt ein Stipendium, um das Gymnasium (Lycée) in Lyon zu besuchen und danach ab 1888 die Eliteschule École Normale Supérieure in Paris. Nach seiner Promotion im Jahre 1894 unterrichtete er an der Universität in Montpellier und 1896 bis 1903 an der Universität Lyon. 1903 wurde er Professor in Nancy. 1909 begann er schließlich, in Paris zu unterrichten, wo er Dozent an der Sorbonne war und 1912 eine Professur in Analysis erhielt. 1920 wurde er Professor für rationale Mechanik und 1924 für Geometrie. Während des Ersten Weltkrieges arbeitete er im Hospital der Ecole Normale Supérieure, war aber weiterhin wissenschaftlich tätig. 1940 emeritierte er.
Er war seit 1903 mit Marie-Luise Bianconi verheiratet, mit der er vier Kinder hatte. Sein Sohn Henri Cartan wurde ebenfalls ein bedeutender Mathematiker.
Werk
Élie Cartan ist hauptsächlich bekannt für seine Untersuchungen zur Klassifikation halbeinfacher komplexer Lie-Algebren und seine Beiträge zur Differentialgeometrie. Nach ihm sind viele Konzepte der Theorie der Lie-Algebren wie Cartan-Unteralgebren, die Cartan-Involution und die Cartan-Matrix benannt. In der Differentialgeometrie tragen die Cartan-Ableitung und Maurer-Cartan-Gleichungen seinen Namen; manchmal werden auch Zusammenhänge auf Prinzipalbündeln (Hauptfaserbündel) als Cartan-Zusammenhänge bezeichnet.
Nach eigenem Bekunden in seinem Werk Notice sur les travaux scientifiques war sein Hauptbeitrag zur Mathematik die Weiterentwicklung der Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren (zuerst in seiner Dissertation 1894). In Fortsetzung der Arbeit von Wilhelm Killing und Friedrich Engel arbeitete er an komplexen einfachen Lie-Algebren. Hier identifizierte er die 4 Hauptfamilien und die 5 Ausnahmefälle, womit eine vollständige Klassifikation erreicht wurde. Er führte auch das Konzept der algebraischen Gruppe ein, das aber erst nach 1950 ernsthafte Entwicklung erfuhr.
Er definierte die einheitliche Notierung alternierender Differentialformen, wie sie heute noch benutzt werden. Seine Herangehensweise an die Lie-Gruppen mithilfe der Maurer-Cartan-Gleichungen benötigte Gleichungen 2. Ordnung. Zu jener Zeit wurden nur Gleichungen 1. Ordnung (Pfaffsche Form) benutzt. Mit der Einführung der 2. Ordnung für Ableitungen und weiteren Ordnungen wurde die Formulierung vergleichsweise allgemeiner Systeme partieller Differentialgleichungen möglich. Cartan führte die äußere Ableitung als eine vollständig geometrische und koordinaten-unabhängige Operation ein. Diese führt auf natürliche Weise zur dem Bedürfnis, Differentialformen von beliebigem Grad p zu untersuchen. Wie Cartan berichtet, ist er durch die allgemeine Theorie partieller Differentialgleichungen, wie sie von Riquier beschrieben wurde, beeinflusst worden.
Mit diesen Grundlagen – Lie-Gruppen und Differentialgleichungen höherer Ordnung – schuf er ein umfassendes Werk, und führte einige grundlegende Techniken wie zum Beispiel die Rahmenfelder (moving frames) ein, die sich später in den Mainstream mathematischer Methoden integrierten.
In den Travaux unterteilt er seine Arbeit in fünfzehn Teilbereiche. In moderner Terminologie sind diese:
- Lie-Gruppen
- Darstellungen von Lie-Gruppen
- Hyperkomplexe Zahlen, Divisionsalgebra
- Partielle Differentialgleichungen, Cartan-Kähler-Theorem
- Äquivalenztheorie
- Integrierbare Systeme, Theorie der Prolongationen und Involutionssysteme
- Unendlichdimensionale Gruppen und Pseudogruppen
- Differentialgeometrie und begleitende Vielbeine (moving frames, repere mobile)
- Allgemeine Räume mit Strukturgruppe und Zusammenhängen, Cartan-Zusammenhang, Holonomie, Weyl-Tensor
- Geometrie und Topologie von Lie-Gruppen
- Riemannsche Geometrie
- Symmetrische Räume
- Topologie kompakter Gruppen und ihrer homogenen Räume
- Integral-Invarianten und klassische Mechanik
- Allgemeine Relativitätstheorie und Spinoren
Auf vielen dieser Gebiete war er ein Pionier. Die meisten – jedoch nicht alle – Themen, auf denen er relativ isoliert und von den Zeitgenossen unverstanden als erster voranschritt, sind von späteren Mathematikern aufgegriffen und ausgebaut worden.
Cartan hielt mehrfach Plenarvorträge auf dem Internationalen Mathematikerkongress: in Oslo 1936 (Quelques aperçus sur le rôle de la théorie des groupes de Sophus Lie dans le développement de la géométrie moderne), Toronto 1924 (La théorie des groupes et les recherches récentes de géométrie différentielle) und Zürich 1932 (Sur les espaces riemanniens symétriques).
Schriften
- Oeuvres completes, 3 Bde., Paris 1952 bis 1955, Nachdruck Edition du CNRS 1984
- Geometry of Riemannian Spaces, Brookline, Massachusetts, 1983, zuerst La geometrie des espaces de Riemann, Gauthiers-Villars 1925
- On manifolds with affine connection and the general theory of relativity, Neapel, Bibliopolis 1986
- The Theory of Spinors, Paris, Hermann 1966
- Lecons sur la theorie des espaces a connexion projective, Gauthiers-Villars 1937
- La parallelisme absolu et la theorie unitaire du champ, Hermann 1932
- La theorie des groups finis et continus et l´analysis situs, Gauthiers-Villars 1930
- Lecons sur la geometrie projective complexe, Gauthiers-Villars 1931
- Lecons sur la geometrie des espaces de Riemann, Gauthiers-Villars 1928
- Lecons sur les invariants integraux, Hermann, Paris, 1922
Literatur
- Maks A. Akivis, Boris Abramowitsch Rosenfeld: Elie Cartan. 1869-1951. AMS, Providence, R.I. 1993, ISBN 0-8218-4587-X (Translations of mathematical monographs; 123).
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