Cartan-Ableitung

Die äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung ist ein Begriff aus den Bereichen Differentialgeometrie und Analysis. Sie verallgemeinert die aus der Analysis bekannte Ableitung von Funktionen auf Differentialformen. Der Name Cartan-Ableitung erklärt sich daher, dass Élie Cartan der Begründer der Theorie der Differentialformen ist.

Äußere Ableitung

Definition

Sei M eine n-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit und U eine offene Teilmenge. Mit $\mathcal{A}^k(M)$ wird hier der Raum der k-Formen auf der Mannigfaltigkeit M bezeichnet. So gibt es dann für alle $k \in \N \cup \{0\}$ genau eine Funktion $\mathrm{d}^k: \mathcal{A}^k(U) \to \mathcal{A}^{k+1}(U)$, so dass die folgenden Eigenschaften gelten:

1. d ist eine Antiderivation, das heißt für $\alpha \in \mathcal{A}^k(U)$ und $\beta \in \mathcal{A}^l(U)$ gilt $\mathrm{d}(\alpha \wedge \beta) = \mathrm{d}\alpha \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge \mathrm{d} \beta$.
2. Sei $f \in C^\infty(U)$, dann ist $\,\mathrm{d}f$ definiert als das totale Differential.
3. $\mathrm{d} \circ \mathrm{d} = 0$
4. Der Operator verhält sich natürlich in Bezug auf Einschränkungen, das heißt: Sind $U \subset V \subset M$ offene Mengen und $\alpha \in \mathcal{A}^k(V)$, so gilt $\, \mathrm{d}(\alpha|U) = (\mathrm{d} \alpha)|U$.

Es muss natürlich bewiesen werden, dass ein solcher Operator existiert und eindeutig ist. Dieser trägt den Namen äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung und wird meistens mit $\,\mathrm{d}$ bezeichnet. Man verzichtet also auf den Index, welcher den Grad der Differentialform angibt, auf welchen der Operator angewendet wird.

Formel für die äußere Ableitung

Man kann die äußere Ableitung auch mit Hilfe der Formel

$\begin{array}{rcl} \mathrm d\omega(X_0,\ldots,X_k) &=&\sum_{i=0}^k(-1)^{i} X_i\omega(X_0,...,\hat X_i,...,X_k)\\[0.5em] &+&\sum_{0\leq i<j \leq k}(-1)^{i+j} \omega([X_i,X_j],X_0,...,\hat X_i,...,\hat X_j,...,X_k) \end{array}$

darstellen, dabei bedeutet das Zirkumflex ^ in $\hat X_i$, dass das entsprechende Argument wegzulassen ist, [.,.] bezeichnet die Lie-Klammer.

Koordinatendarstellung

Sei $p \in M$ ein Punkt auf einer glatten Mannigfaltigkeit. Die äußere Ableitung von $\omega \in \mathcal{A}(M)$ hat in diesem Punkt die Darstellung

$\mathrm d\omega|_p=\sum_{1\leq i_1<\ldots<i_k\leq n} \sum_{i=1}^n \left. \frac{\partial a_{i_1,\ldots,i_k}}{\partial x_{i}}\right|_p \mathrm d x_{i}\wedge\mathrm dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_{i_k}$,

dabei hat ω die lokale Darstellung

$\omega = \sum_{1\leq i_1<\ldots<i_k\leq n} a_{i_1,\ldots,i_k} \mathrm dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_{i_k}.$

Rücktransport

Seien $M,\ N$ zwei glatte Mannigfaltigkeiten und $f: M \to N$ eine einmal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist der Rücktransport$f^* : \mathcal{A}(N) \to \mathcal{A}(M)$ ein Homomorphismus, so dass

1. $f^*(\psi \wedge \omega) = f^* \psi \wedge f^* \omega$ und
2. $\,f^*(\mathrm{d} \omega) = \mathrm{d}(f^* \omega)$

gilt.

In Worten sagt man auch: Produktbildung bzw. äußere Differentiation sind mit der "pullback"-Relation verträglich.

Adjungierte äußere Ableitung

Sei in diesem Abschnitt (M,g) eine Riemann'sche Mannigfaltigkeit. Mit $\star$ wird im Folgenden der Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Der Operator

$\delta : \mathcal{A}^{k-1}(M) \to \mathcal{A}^k(M)$

ist definiert durch $\delta (\mathcal{A}^0(M)) = 0$ und für $\beta \in \mathcal{A}^{k-1}(M)$ durch

$\delta (\beta) = (-1)^{n(k+1)+1} \star \mathrm{d} \star.$

Dieser Operator ist linear und es gilt $\delta \circ \delta = 0$. In der Tat ist δ der zu d adjungierte Operator; er beschreibt u.a. den wichtigen Begriff der „Dualität“ bzw. den Übergang zwischen komplementären Begriffen wie der „Dimension" und „Kodimension". Ist die Mannigfaltigkeit zusätzlich kompakt, so gilt für die Riemann'sche Metrik g und $\omega, \nu \in \mathcal{A}(M)$ die Relation

$\,g(\mathrm{d} \omega , \nu) = g(\omega, \delta \nu)$.

Aus diesem Grund notiert man δ auch als $\textstyle \mathrm{d}^*$, da dieser ja der adjungierte Operator ist. Ähnliche Dualitätsbeziehungen können auch für Pseudo-Riemann'sche Metriken definiert werden, zum Beispiel für die Minkowski-Metrik der Speziellen Relativitätstheorie bzw. die Lorentz-Metrik der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Verallgemeinerung weiterer Differentialoperatoren

Die aus der Vektoranalysis bekannten Differentialoperatoren kann man mit Hilfe der äußeren Ableitung d und dem Hodge-Stern-Operator $\star$ auf Riemann'sche Mannigfaltigkeiten erweitern. Insbesondere erhält man für die Rotation eine Formel, welche auf n-dimensionalen Räumen operiert. Im Folgenden sei M immer eine glatte Riemann'sche Mannigfaltigkeit.

Be- und Kreuz- (Flat- und Sharp-) Isomorphismus

Diese beiden Isomorphismen werden durch die Riemannsche Metrik induziert. Sie bilden Tangentialvektoren auf Kotangentialvektoren ab und umgekehrt. Zum Verständnis reicht es an dieser Stelle die Wirkung der Isomorphismen im dreidimensionalen Raum zu demonstrieren. Sei $F \in T_p \R^3 \cong \R^3$ ein Vektorfeld, so gilt für den Flat-Operator in Standardkoordinaten von F

$F^\flat = F^1 \mathrm{d} x_1 + F^2 \mathrm{d} x_2 + F^3 \mathrm{d} x_3 \in T^*_p\R^3 \cong \mathcal{A}^1(\R^3)$.

Der Flat-Operator bildet also Vektorfelder in ihren Dualraum ab. Der Sharp-Operator ist die dazu inverse Operation. Sei $\nu \in T^*_p\R^3 \cong \mathcal{A}^1(\R^3)$ ein Kovektorfeld (bzw. eine 1-Form), so gilt (ebenfalls Standardkoordinaten)

$\nu^\sharp = \nu_1\frac{\partial}{\partial x_1} + \nu_2 \frac{\partial}{\partial x_2} + \nu_3 \frac{\partial}{\partial x_3} \in T_p\R^3$.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt ist zwar kein Differentialoperator und wird zudem in der Vektoranalysis nur für dreidimensionale Vektorräume definiert. Trotzdem ist es, insbesondere für die Definition der Rotation, sehr wichtig: Sei V ein Vektorraum und $v,w \in \Lambda^k V$ zwei Elemente einer äußeren Potenz von V, dann ist das verallgemeinerte Kreuzprodukt definiert durch

$v \times w = \left(\star(v^\flat \wedge w^\flat )\right)^\sharp$.^[1]

Für eine Begründung dieser Definition siehe unter äußere Algebra.

Gradient

Es sei $f: \R^n \to \R$ eine partiell differenzierbare Funktion und auf $\R^{n}$ sei das Standardskalarprodukt $\langle.,.\rangle$ gegeben. Der Gradient der Funktion f im Punkt $a \in \R^n$ ist für beliebiges $h\in \R^n$ der durch die Forderung

$\mathrm{d} f(a) h = \langle \nabla f(a) , h \,\rangle$

eindeutig bestimmte Vektor $\nabla f(a)$. Mit Hilfe des Differentialformen-Kalküls kann man den Gradienten auf einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit M durch

$\nabla f := (\mathrm{d}f)^\sharp$

definieren. Da die Menge der 0-Formen nach Definition gleich der Menge der beliebig oft differenzierbaren Funktionen ist, verallgemeinert diese Definition den Gradienten von Funktionen. Dies lässt sich schnell durch eine kurze Rechnung einsehen. Ist $f: \R^3 \to \R$ eine glatte Funktion, so gilt

$(\mathrm{d}f)^\sharp = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}\mathrm{d}x^1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}\mathrm{d} x^2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}\mathrm{d} x^3 \end{pmatrix}^\sharp = \frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial}{\partial x_1} + \frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial}{\partial x_2} + \frac{\partial f}{\partial x_3}\frac{\partial}{\partial x_3}.$

In euklidischen Vektorräumen notiert man dies häufig wie folgt:

$(\mathrm{d}f)^\sharp = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3} \end{pmatrix}^\sharp = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}\\ \frac{\partial f}{\partial x_3}\end{pmatrix}.$

Rotation

In der Vektoranalysis ist die Rotation eine Abbildung $\mathrm{rot} : T_p\R^3 \to T_p\R^3$. Für allgemeine Vektorfelder gilt

$\mathrm{rot}(f) = \nabla \times f = \left(\star\left(\mathrm{d}f^\flat \right) \right)^\sharp$.

Folgende Rechnung zeigt, dass man für die Dimension n = 3 den bekannten Ausdruck für die Rotation erhält:

$\begin{array}{cl} &\mathrm d(f_1\cdot\mathrm dx_1+f_2\cdot\mathrm dx_2 + f_3 \cdot \mathrm{d}x_3)\\ =&\mathrm df_1\wedge\mathrm dx_1+\mathrm df_2\wedge\mathrm dx_2 +\mathrm df_3\wedge\mathrm dx_3 \\[0.5em] =&\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_1 +\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\cdot\mathrm dx_2\wedge\mathrm dx_1 + \frac{\partial f_1}{\partial x_3}\cdot\mathrm dx_3\wedge\mathrm dx_1\\ +&\frac{\partial f_2}{\partial x_1}\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_2 + \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\cdot\mathrm dx_2\wedge\mathrm dx_2 + \frac{\partial f_2}{\partial x_3}\cdot\mathrm dx_3\wedge\mathrm dx_2\\ +&\frac{\partial f_3}{\partial x_1}\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_3 + \frac{\partial f_3}{\partial x_2}\cdot\mathrm dx_2\wedge\mathrm dx_3 + \frac{\partial f_3}{\partial x_3}\cdot\mathrm dx_3\wedge\mathrm dx_3\\[0.5em] =&\left(\frac{\partial f_3}{\partial x_2} - \frac{\partial f_2}{\partial x_3}\right)\cdot\mathrm dx_2\wedge\mathrm dx_3 + \left(\frac{\partial f_3}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1}{\partial x_3}\right) \cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_3 + \left(\frac{\partial f_2}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\right)\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_2 \end{array}$

Diese Formel erhält man sofort, indem man die Definition des Gradienten in die des Kreuzproduktes einsetzt.

Divergenz

Ebenso gibt es eine Verallgemeinerung der Divergenz, diese lautet

$\mathrm{div}(f) = \nabla \cdot f = \star \mathrm{d}(\star f\, ^\flat).$

Hodge-Laplace-Operator

Der Hodge-Laplace-Operator ist ein spezieller verallgemeinerter Laplace-Operator. Solche Operatoren haben in der Differentialgeometrie eine wichtige Bedeutung.

Definition

Sei M eine glatte Riemann'sche Mannigfaltigkeit, so ist der Hodge-Laplace-Operator definiert durch

$\,\Delta = \mathrm{d} \delta + \delta \mathrm{d}.$

Eine Funktion $f : \R^n \to \R$ heißt harmonisch, wenn sie die Laplace-Gleichung Δf = 0 erfüllt. Analog definiert man die harmonischen Differentialformen. Eine Differentialform $\omega \in \mathcal{A}(M)$ heißt harmonisch, falls die Hodge-Laplace-Gleichung Δω = 0 erfüllt ist. Mit $\mathcal{H}^k(M)$ wird die Menge aller harmonischen Formen auf M notiert.

Eigenschaften

Der Hodge-Laplace-Operator hat folgende Eigenschaften:

1. $\,\star \Delta = \Delta \star$, also falls ω harmonisch ist, so ist auch $\star \omega$ harmonisch.
2. Der Operator $\,\Delta$ ist selbstadjungiert bezüglich einer Riemannschen Metrik g, das heißt für alle $\omega, \nu \in \mathcal{A}(M)$ gilt; $\,g(\Delta \omega, \nu) = g(\omega , \Delta \nu)$.
3. Notwendig und hinreichend für die Gleichung $\,\Delta \omega = 0$ ist, dass $\,\mathrm{d} \omega = 0$ und $\,\delta \omega = 0$ gilt.

Dolbeault-Operator

→ Hauptartikel: Komplexe Differentialform

Zwei weitere Differentialopertoren, welche mit der Cartan-Ableitung in Verbindung stehen sind der Dolbeault- und der Dolbeault-Quer-Operator auf Mannigfaltigkeiten. So kann man die Räume der Differentialformen vom Grad (p,q) einführen, welche durch $\mathcal{A}^{p,q}$ notiert werden, und erhält auf natürliche Weise die Abbildungen

$\partial : \mathcal{A}^{p,q} \to \mathcal{A}^{p+1,q}$

und

$\overline{\partial} : \mathcal{A}^{p,q} \to \mathcal{A}^{p,q+1}$

mit $\mathrm{d} = \partial + \overline{\partial}$. In lokalen Koordinaten haben diese Differentialoperatoren die Darstellungen

$\partial \left(\sum_{I,J} f_{I,J} \mathrm{d} z_I \wedge \mathrm{d} \overline{z}_J\right) = \sum_{I,J} \partial f_{I,J} \mathrm{d} z_I \wedge \mathrm{d} \overline{z}_J$

und

$\overline{\partial} \left(\sum_{I,J} f_{I,J} \mathrm{d} z_I \wedge \mathrm{d} \overline{z}_J\right) = \sum_{I,J} \overline{\partial} f_{I,J} \mathrm{d} z_I \wedge \mathrm{d} \overline{z}_J.$

Literatur

• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-540-96790-7.
• S. Morita: Geometry of Differential Forms. American Mathematical Society, ISBN 0-821-81045-6.

Fußnoten

1. ↑ Damit hängt eine in der Physik benutzte Sprachregelung zusammen, nach welcher man polare und axiale Vektoren unterscheidet; das Kreuzprodukt zweier polarer Vektoren ergibt zum Beispiel einen axialen Vektor. Die als $\mathbf L$ bzw. $\mathbf D$ bezeichneten Größen der theoretischen Mechanik („Drehimpulse“ bzw. „Drehmomente“) sind z.B. axiale Vektoren.