Casimir-Operator

Der Casimir-Operator (auch Casimir-Invariante, benannt nach dem Physiker Hendrik Casimir) wird im mathematischen Teilgebiet der Algebra und der Differentialgeometrie untersucht. Er ist ein spezielles Element aus dem Zentrum der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra. Ein typisches Beispiel ist der quadrierte Drehimpulsoperator, der eine Casimir-Invariante der dreidimensionalen Drehgruppe ist.

Definition

Angenommen, $\mathfrak{g}$ ist eine n-dimensionale halbeinfache Lie-Algebra. Sei

$\{X_i\}_{i=1}^n$

irgendeine Basis von $\mathfrak{g}$ und

$\{X^i\}_{i=1}^n$

sei die Dualbasis von $\mathfrak{g}$ hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform auf $\mathfrak{g}$. Das quadratische Casimir Element Ω ist das durch die Formel

$\Omega = \sum_{i=1}^n X_i X^i.$

gegebene Element der universellen einhüllenden Algebra $U(\mathfrak{g})$. Obschon sich die Definition des Casimir Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element Ω davon unabhängig ist. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir Element mit allen Elementen der Lie-Algebra $\mathfrak{g}$ kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra $U(\mathfrak{g})$ liegt.

Sei ρ eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra $\mathfrak{g}$ auf einem (gegebenenfalls unendlichdimensionalen) Vektorraum V. Dann ist die korrespondierende quadratische Casimir-Invariante ρ(Ω) der durch

$\rho(\Omega) = \sum_{i=1}^n \rho(X_i)\rho(X^i).$

gegebene lineare Operator auf V.

Anwendungen

Ein Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Operiert eine zusammenhängende Lie-Gruppe G mit zugehöriger Lie-Algebra $\mathfrak{g}$ auf einer differenzierbare Mannigfaltigkeit M, so werden die Elemente von $\mathfrak{g}$ durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf M beschrieben. Sei ρ die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf M. In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir-Invariante der G-invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf M.

Man kann noch allgemeinere Casimir-Invarianten definieren; dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von Pseudo-Differentialoperatoren in der Fredholm-Theorie.

Literatur

• James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, 2. überarbeitete Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5