Cauchy-Schwarz-Abschätzung

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als schwarzsche Ungleichung oder Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung, ist eine nützliche Ungleichung, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird, z. B. in der Linearen Algebra (Vektoren), in der Analysis (unendliche Reihen), in der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie bei Integration von Produkten. Außerdem spielt sie in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle, wie etwa beim Beweis der Unschärferelation.

Allgemeiner Fall

Die Ungleichung sagt aus: Wenn x und y Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums mit innerem Produkt sind, dann gilt für das Skalarprodukt bzw. das innere Produkt $\langle x,y \rangle$ die Beziehung

$\left|\langle x,y \rangle\right|^2 \leq \langle x, x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

Unter Verwendung der Norm $\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ ergibt sich daraus

$\left|\langle x,y \rangle\right|^2 \leq \|x\|^2 \cdot \| y\|^2.$

Es kann auch auf beiden Seiten die Wurzel gezogen werden. Man erhält, da Norm und Betrag nicht negativ sind:

$\left|\langle x,y \rangle\right| \leq \|x\| \cdot \| y\|.$

Beide Seiten sind genau dann gleich, wenn x und y linear abhängig sind.

Spezialfälle

Auf quadratische Matrizen angewandt, erhält man für die Spur:

$\vert\mathrm{Spur}(ab^*)\vert\leq(\mathrm{Spur}(aa^*))^{\frac{1}{2}}(\mathrm{Spur}(bb^*))^{\frac{1}{2}}$

Auf euklidische Räume $\mathbb{R}^n$ angewandt, erhält man:

$\left(\sum x_i \cdot y_i \right)^2 \leq \left(\sum x_i^2\right) \cdot \left(\sum y_i^2\right)$

Im Fall quadratisch integrierbarer komplexwertiger Funktionen erhält man:

$\left|\int f(x) \cdot \overline{g(x)}\, dx\right|^2 \leq \left(\int \left|f(x)\right|^2\, dx\right) \cdot \left(\int \left|g(x)\right|^2\, dx\right)$

Für quadratisch integrierbare Zufallsvariablen erhält man:

$\left(\operatorname{E}(XY)\right)^2 \leq \operatorname{E}(X^2)\cdot\operatorname{E}(Y^2)$

Die letzten drei Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert.

Im $\mathbb{R}^3$ lässt sich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zu einer Gleichung verschärfen:

$\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2$

Geschichte

Benannt ist die Ungleichung nach Augustin Louis Cauchy, Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski und Hermann Amandus Schwarz. Bei Cauchy findet sich die Summenform der Ungleichung in seiner Analyse algébrique (1821)^[1]. Die Integralform der Ungleichung wurde historisch erstmals 1859 von Bunjakowski in einer Arbeit über Ungleichungen zwischen Integralen veröffentlicht; Schwarz veröffentlichte seine Arbeit erst 50 Jahre später.

Anwendungen

In einem Vektorraum mit innerem Produkt lässt sich aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung die Dreiecksungleichung für $\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ ableiten, und damit in weiterer Folge zeigen, dass durch das innere Produkt eine Norm definiert wird.

Eine weitere Folgerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das innere Produkt eine stetige Funktion ist.

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung stellt sicher, dass im Ausdruck $\cos \varphi := \frac{\langle x,y\rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}$ der Betrag des Bruches stets kleiner oder gleich eins ist, sodass also $\varphi\;$ wohldefiniert ist und damit der Winkel auf beliebige Räume mit innerem Produkt verallgemeinert werden kann.

In der Physik wird die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung bei der Herleitung der Heisenbergschen Unschärferelation verwendet.

Beweis der Ungleichung

Beweis aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Ein Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann beispielsweise mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel erfolgen:

Definiert man für $i=1,\dots,n$ die Werte $\xi_i:=|x_i|/\sqrt{\sum_j x_j^2}$ und $\eta_i:=|y_i|/\sqrt{\sum_j y_j^2}$, so ergibt sich aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Beziehung

$\sum_i \xi_i\eta_i = \sum_i \sqrt{\xi_i^2\eta_i^2} \leq \sum_i (\xi_i^2/2 + \eta_i^2/2) = 1$

Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung

Ein anderer Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich aus der Umordnungs-Ungleichung. Setzt man $S=\sqrt{\sum_i x_i^2}$ und $T=\sqrt{\sum_i y_i^2}$ sowie $\xi_i=\frac{x_i}{S}$ und $\xi_{n+i}=\frac{y_i}{T}$ so gilt

$2=\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{S^2}+\sum_{i=1}^n \frac{y_i^2}{T^2}=\sum_{i=1}^{2n} \xi_i^2.$

Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun

$\sum_{i=1}^{2n} \xi_i^2 \geq \xi_1\xi_{n+1}+ \xi_2\xi_{n+2} \dots \xi_n\xi_{2n} + \xi_{n+1}\xi_{1} + \xi_{n+2}\xi_{2} + \dots \xi_{2n}\xi_n.$

Zusammengefasst erhält man also

$2\geq\frac{2\sum_{i=1}^{n} x_i y_i}{ST}$

wobei dieses Ergebnis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung entspricht.

Beweis für das Skalarprodukt

Die oben angegebenen Beweise beweisen nur den Spezialfall der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung in euklidischen Räumen. Der Beweis für den allgemeinen Fall des Skalarprodukts in einem Vektorraum mit innerem Produkt ist aber simpel.

Reeller Fall

Der Fall y = 0 ist einfach zu behandeln, es sei also $y \not= 0$ und damit$\langle y,y \rangle\neq 0$. Für jedes $\lambda \in \mathbb{R}$ gilt

$0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x-\lambda y,x \rangle - \lambda \langle x-\lambda y,y \rangle = \langle x,x \rangle -2\lambda \langle x,y \rangle + \lambda^2 \langle y,y \rangle.$

Wählt man nun speziell $\lambda := \frac {\langle x,y \rangle} {\langle y,y \rangle} = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^{-2}$ so ergibt sich

$0 \leq \|x\| ^2 - \langle x,y \rangle^2 \cdot \|y\|^{-2},$

also

$\langle x,y \rangle^2 \leq \|x\|^2 \|y\|^2.$

Ziehen der Quadratwurzel ergibt nun genau die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

$\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\|.$

Komplexer Fall

Der Beweis im komplexen Fall verläuft ähnlich, allerdings ist zu beachten, dass das Skalarprodukt in diesem Fall keine Linearform, sondern eine Hermitesche Form ist. Der Beweis wird für die Variante linear im ersten und semilinear im zweiten Argument geführt; wird die umgekehrte Variante gewählt, so ist an den entsprechenden Stellen die komplex Konjugierte zu nehmen.

Für jedes $\lambda \in \mathbb{C}$ gilt

$0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x-\lambda y,x \rangle - \overline{\lambda}\langle x-\lambda y,y \rangle = \langle x,x \rangle - \lambda \langle y,x \rangle - \overline{\lambda} \langle x,y \rangle + \big|\lambda\big|^ 2\langle y,y \rangle.$

Hier führt nun die spezielle Wahl $\lambda = \frac {\langle x,y \rangle} {\langle y,y \rangle} = {\langle x,y \rangle} \cdot \|y\|^{-2} = \overline{\langle y,x \rangle} \cdot \|y\|^{-2}$ auf

$0 \leq \|x\| ^2 - \big|\langle x,y \rangle\big|^2 \cdot \|y\|^{-2},$

also

$\big|\langle x,y \rangle\big|^2 \leq \|x\|^2 \|y\|^2.$

Quellen

1. ↑ Cauchy, Augustin-Louis. Analyse algébrique, Seite 455f

Weblinks

• Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung im Beweisarchiv

Literatur

• Peter Schreiber: The Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality, in: Ders.: Hermann Grassmann, Werk und Wirkung. Internationale Fachtagung anläßlich des 150. Jahrestages des ersten Erscheinens der "linearen Ausdehnungslehre", Universität Greifswald, 1995, S. 64-70