Drehmatrizen

Eine Drehmatrix oder Rotationsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix, die eine Drehung im euklidischen Raum beschreibt.

Die Drehung kann entweder ein Objekt (eine Figur, einen Körper) bezüglich eines festgehaltenen Koordinatensystems oder das Koordinatensystem selbst bewegen.

Drehmatrix der Ebene R²

In der euklidischen Ebene ${} \R^2$ wird die Drehung eines Vektors p um den Ursprung um den Winkel α, welcher im mathematisch positiven Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) definiert ist, realisiert durch die Multiplikation mit der Drehmatrix R.

Bei der aktiven Drehung wird der Vektor durch die Multiplikation eines Vektors mit der Matrix R gedreht:

p₂ = Rp₁

Bei der passiven Drehung wird das Koordinatensystem gedreht. Die Koordinaten des Vektors im gedrehten Koordinatensystem findet man durch Multiplikation mit der Matrix R ^{− 1}:

p₂ = R ^{− 1}p₁

Die Elemente der Drehmatrizen ergeben sich folgendermaßen: Bezeichnen wir mit p₁ den Vektor vor und mit p₂ den Vektor nach der Rotation.

$p_{1} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \end{pmatrix} \qquad p_{2} = \begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{pmatrix}$

Für die Koordinaten x₁ und y₁ bedeutet dies:

x₁ = cosφ

y₁ = sinφ.

Nach den Additionstheoremen ergibt sich damit für die neuen Koordinaten x₂ und y₂ nach einer Drehung um den Winkel α:

$\begin{align} x_{2} & = \cos (\phi+\alpha) = \cos \phi \cdot \cos \alpha - \sin \phi \cdot \sin \alpha \\ & = x_{1} \cos \alpha - y_{1} \sin \alpha \end{align}$

$\begin{align} y_{2} & = \sin (\phi+\alpha) = \sin \phi \cdot \cos \alpha + \cos \phi \cdot \sin \alpha \\ & = y_{1} \cos \alpha + x_{1} \sin \alpha \end{align}$

und damit in Matrix-Schreibweise

$\begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \end{pmatrix}$

mit der aktiven Drehmatrix R. Durch ähnliche Überlegungen erhalten wir die passive Matrix R ^{− 1}

$R = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \qquad R^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$

Positive Winkel werden in der Mathematik üblicherweise mit Hilfe der sogenannten Rechten-Daumen-Regel definiert. Dagegen ist die Verwendung des Uhrzeigersinns eine nicht hinreichende Bedingung zur Bestimmung des Winkels. Erfolgt die Drehung entgegen dem mathematisch positivem Drehsinn, dann ist der Winkel bei der Berechnung negativ einzugeben.

Drehmatrizen des Raumes R³

Die elementaren Drehungen im $\R^3$ sind Drehungen um die üblichen kartesischen Koordinatenachsen. Folgende Matrizen drehen einen Punkt (bzw. Vektor) um den Winkel α.

Bitte beachten: Diese Matrizen drehen nicht die Koordinatenachsen - wie z.B. in der Physik üblich. Um solche Drehmatrizen zu erhalten, müssen bei den untenstehenden einfach die Vorzeichen aller Sinus-Einträge vertauscht werden.

• Drehung eines Punkts mit x-Achse als Drehachse:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$,

• Drehung eines Punkts mit y-Achse als Drehachse:

$\begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & -\sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix}$,

• Drehung eines Punkts mit z-Achse als Drehachse:

$\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,

Diese Matrizen gelten sowohl für Rechts- als auch für Linkssysteme. Drehungen mit positiven Drehwinkeln sind im Rechtssystem Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn. Im Linkssystem wird bei positiven Winkeln mit dem Uhrzeigersinn gedreht. Der Drehsinn ergibt sich, wenn man entgegen der positiven Drehachse auf den Ursprung sieht. In Rechtssystemen kann auch eine rechte-Hand-Regel angewandt werden: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung der Drehachse, so geben die gebeugten restlichen Finger die Richtung des Drehwinkels an.

• Drehung mit beliebigem Einheitsvektor v=(v₁,v₂,v₃)^T als Drehachse:

$\begin{pmatrix} \cos \alpha +v_1^2 \left(1-\cos \alpha\right) & v_1 v_2 \left(1-\cos \alpha\right) - v_3 \sin \alpha & v_1 v_3 \left(1-\cos \alpha\right) + v_2 \sin \alpha \\ v_2 v_1 \left(1-\cos \alpha\right) + v_3 \sin \alpha & \cos \alpha + v_2^2\left(1-\cos \alpha\right) & v_2 v_3 \left(1-\cos \alpha\right) - v_1 \sin \alpha \\ v_3 v_1 \left(1-\cos \alpha\right) - v_2 \sin \alpha & v_3 v_2 \left(1-\cos \alpha\right) + v_1 \sin \alpha & \cos \alpha + v_3^2\left(1-\cos \alpha\right) \end{pmatrix}$.

Diese beliebige Drehung lässt sich auch über drei aufeinanderfolgende Drehungen mit den Eulerschen Winkeln um bestimmte Koordinatenachsen erzielen, so dass sich diese Matrix auch mit diesen Winkeln formulieren lässt.

Allgemeine Definition

Eine $n\times n$-Matrix R mit reellen Komponenten heißt Drehmatrix, wenn sie

a) die Länge von Vektoren und die Winkel zwischen Vektoren erhält (ausgedrückt durch das Skalarprodukt), wenn also für alle Vektoren x und y des $\R^n$ gilt:

$\langle Rx, Ry\rangle = \langle x, y\rangle$

und

b) orientierungserhaltend also $\det\, R=1$ ist.

Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen mit der Determinante +1. Die Menge aller Drehmatrizen eines Raumes bildet die spezielle orthogonale Gruppe.

Die Drehmatrix ist im allgemeinen definiert als:

$R = \vec{n}\cdot\vec{n}+\cos\phi[\vec{I}-\vec{n}\cdot\vec{n}]+\sin\phi \vec{J}$

$\vec{I} ={\vec{e}}_{\alpha}{\vec{e}}_{\alpha}$ Einheitsmatrix

$\vec{J} = \sum \limits _{\alpha =1}^3 (\vec{n} \times \vec{e_{\alpha}})\vec{e_{\alpha}}$ Erzeugende einer infinitesimalen Drehung

und die Elemente werden definiert als:

${R}_{\alpha\beta} = n_\alpha n_\beta + \cos\phi({\delta}_{\alpha\beta}-n_\alpha n_\beta)-\sin\phi {\varepsilon}_{\alpha\beta\gamma} n_\gamma$

Eigenschaften

Weitere Eigenschaften von $R \in \mathbb{R}^{n\times n}$:

• det(R) = 1 (Determinante)
• R^T = R ^{− 1} (R transponiert = R invertiert)
• R^TR = RR^T = Id_n (orthogonal)
• Die Ausrichtung des Koordinatensystems (Rechts- oder Linkssystem) wird beibehalten.
• Die Drehachse $\vec v$ ist die Lösung zu:

$(R-I) \vec v = \vec 0$.

Da (R − I) singulär ist, ist die Berechnung der Drehachse über eine Eigenwertzerlegung durchzuführen. Die Drehachse $\vec v$ ist Eigenvektor von R mit Eigenwert 1.

• Der Drehwinkel α ergibt sich über das Skalarprodukt:

$\quad \langle\vec w, R\vec w\rangle =\|\vec w\| \|R\vec w\| \cos \alpha$,

mit $\vec w$ orthogonal zur Drehachse $\vec v$

oder aus der Spur der Drehmatrix (für den Fall $R \in O(n)$)

$\operatorname{Tr}(R) = n-2 + 2 \cos\alpha$

(siehe auch Formel für die Matrix einer Drehung um eine allgemeine Achse oben).