Affines Koordinatensystem

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Man spricht von affinen Koordinaten oder geradlinigen Koordinaten, wenn die Koordinatenlinien durch Geraden gebildet werden. Affine Koordinaten können sowohl schiefwinklig als auch orthogonal (senkrecht) sein. Im letzteren Fall spricht man von kartesischen Koordinaten.

Abzugrenzen sind die geradlinigen Koordinaten von krummlinigen Koordinaten. Die Basisvektoren krummliniger Koordinaten sind im Allgemeinen vom Ort abhängig.

Definition

Affine Koordinaten eines Vektors

Ein beliebiger Vektor $\vec p$ in einem n-dimensionalen Vektorraum lässt sich durch eine Linearkombination $\Sigma_{i=1}^n p_i\vec e_i$ linear unabhängiger Vektoren $\vec e_i$ darstellen. Die Skalare p_i sind die affinen Koordinaten des Vektors $\vec p$ bzgl. $\vec e_i$.

Affine Koordinaten eines Punktes

Die affinen Koordinaten eines Punktes P erhält man nach Festlegung eines Ursprungs O als die affinen Koordinaten des zugehörigen Ortsvektors $\vec p = \overrightarrow{OP}$.

Schiefwinklige affine Koordinaten

Bei schiefwinkligen affinen Koordinaten ist das Skalarprodukt zwischen verschiedenen Einheitsvektoren $\vec{e}_i$ ungleich Null:

$\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j \neq 0$   für   $i \neq j$

Um die Vektorkomponente p_i eines gegebenen Vektors $\vec{p}$ zu erhalten verwendet man die Vektoren der dualen Basis $\vec{e}^{\ *}_{i}$. Diese erfüllen die Relation:

$\vec{e}^{\ *}_{i} \cdot \vec{e}_{j} = \delta_{ij}$

Mittels Projektion erhält man die Vektorkomponente p_i:

$\vec{e}^{\ *}_{i} \cdot \vec{p} = \sum_{j=1}^{n}p_{j}\,\vec{e}^{\ *}_{i}\cdot\vec{e}_{j} = \sum_{j=1}^{n}p_{j}\,\delta_{ij} = p_{i}$

Duale Basis

Zur Berechnung der dualen Basis für endlich-dimensionale Vektorräume: Die Beziehung $\vec{e}^{\ *}_{i} \cdot \vec{e}_{j} = \delta_{ij}$ lässt sich auch als Matrix-Gleichung auffassen. Schreibe die kartesichen Koordinaten der Basisvektoren als Zeilen in die erste Matrix; die Spalten der zweiten Matrix sollen die kartesischen Komponenten der gesuchten dualen Basisvektoren enthalten (hier exemplarisch für 3-dimensionalen Vektorraum):

$\left(\begin{array}{ccc} - & \vec{e}_{1} & -\\ - & \vec{e}_{2} & -\\ - & \vec{e}_{3} & -\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} | & | & |\\ \vec{e}^{\ *}_{1} & \vec{e}^{\ *}_{2} & \vec{e}^{\ *}_{3}\\ | & | & |\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$

Bezeichne die erste Matrix mit A und die zweite mit B, die Einheitsmatrix mit E, so schreibt sich das lineare Gleichungssystem:

$A\cdot B=E$

Dessen Lösung ist die inverse Matrix von A:

B = A ^{− 1}

Die dualen Basisvektoren lassen sich nun als Spalten der Matrix B ablesen.

Für orthogonale Koordinaten stimmen Basisvektoren und duale Basisvektoren bis auf eine Konstante überein: $\vec{e}^{\ *}_{i} = c_{i} \,\vec{e}_{i}$. Dabei ist $c_{i}=1 / |\vec{e}_{i}|^2$. Sind die orthogonalen Basisvektoren normiert, so sind die c_i = 1 und somit Basis und duale Basis identisch.

Anwendung

Affine Koordinaten sind wichtig bei der Beschreibung von Kristallgittern. Dort sind die primitiven Gittervektoren im Allgemeinen schiefwinklig. Das Skalarprodukt zwischen Basisvektoren des reziproken Raums $\vec{e}^{\ *}_{i}$ (entspricht dualem Raum bis auf konstanten Faktor 2π) und des Ortsraums $\vec{e}_{j}$ ist hier:

$\vec{e}^{\ *}_{i} \cdot \vec{e}_{j} = 2\pi\,\delta_{ij}$

Beispiel: Die primitiven Gittervektoren des kubisch-flächenzentrierten (fcc) Gitters lauten:

$\vec{e}_{1}=\frac{a}{2}\left(\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)$

$\vec{e}_{2}=\frac{a}{2}\left(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{z}\right)$

$\vec{e}_{3}=\frac{a}{2}\left(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}\right)$

Die Matrix A zeilenweise mit den kartesischen Koordinaten der Basisvektoren auffüllen, dann invertieren und schließlich mit 2π multiplizieren:

$A=\frac{a}{2}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$   mit   $A\cdot B=2\pi\,E$   ergibt sich   $B=2\pi\,A^{-1}=\frac{2\pi}{a}\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\end{array}\right)$

Die reziproke Basisvektoren lassen sich als Spalten der Matrix B einfach ablesen:

$\vec{e}^{\ *}_{1}=\frac{2\pi}{a}\left(-\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)=\frac{a^{*}}{2}\left(-\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)$

$\vec{e}^{\ *}_{2}=\frac{2\pi}{a}\left(\vec{e}_{x}-\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)=\frac{a^{*}}{2}\left(\vec{e}_{x}-\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)$

$\vec{e}^{\ *}_{3}=\frac{2\pi}{a}\left(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}-\vec{e}_{z}\right)=\frac{a^{*}}{2}\left(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}-\vec{e}_{z}\right)$

Diese bilden ein kubisch-raumzentriertes (bcc) Gitter mit der Gitterkonstanten $a^{*}=\frac{4\pi}{a}$.