Exponentielle Abnahme

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Bei einem exponentiellen Prozess handelt es sich um einen Vorgang, bei dem sich eine Größe (meist eine physikalische Größe) exponentiell ändert. Man unterscheidet zwischen

• exponentiellem Wachstum, bei der eine Größe immer schneller wächst,
• exponentiellem Abfall, bei dem eine Größe sich immer langsamer der Null annähert, und
• exponentieller Annäherung, bei der sich eine Größe einem vorgegebenem Wert annähert.

Dabei ist der exponentielle Abfall ein Spezialfall der exponentiellen Annäherung an den vorgegebenen Wert Null.

Exponentielles Wachstum

Wenn bei einem Wachstumsprozess einer Größe A die Wachstumsrate $\frac{dA}{dt}$ (also die positive zeitliche Änderung der Größe) proportional zur Größe A selbst ist, liegt exponentielles Wachstum vor:

$\frac{dA}{dt} \sim A$

Mit der Proportionalitätskonstanten τ erhält man aus dieser Proportionalitätsbeziehung die Differentialgleichung

$\tau \cdot \frac{dA}{dt} = A$

deren Lösung eine Exponentialfunktion ist:

$A(t) = A_0 \cdot e^{\frac{t}{\tau}}$

Damit bekommt τ die Bedeutung einer Zeitspanne, in der die Größe A jeweils auf das e-fache anwächst. A₀ ist der Wert der Größe A zu Beginn (bei Zeit t=0).

Exponentieller Abfall

Nimmt eine Größe im Verlauf der Zeit kontinuierlich ab und ist die Abnahme dieser Größe proportional zur Größe selbst, so spricht man von exponentiellem Abfall, exponentieller Abnahme oder exponentiellem Zerfall.

Beispiele:

• Radiaoktiver Zerfall: In jeder Sekunde zerfällt ein gewisser Prozentsatz der vorhandenen Atomkerne eines Elements; je weniger Kerne noch vorliegen, desto langsamer nimmt deren Zahl ab.
• Absorption von Strahlung in Materie
• Entladen eines Kondensators über einen Widerstand
• Die Selbstinduktionsspannung bei Spannungsänderungen an einer Spule nimmt exponentiell ab.
• Damit nimmt auch die Stromstärke beim Ausschaltvorgang einer Spule exponentiell ab.
• Die Schwingungsamplitude eines gedämpften Pendels nimmt exponentiell ab (bei Stokes-Reibung).
• Entleeren eines Wasserbehälters durch einen dünnen Schlauch am Boden: Je tiefer der Wasserstand fällt, desto geringer wird der Wasserdruck im Schlauch und desto langsamer strömt das Wasser aus.
• Der katalytische Abbau von Stoffen durch eine chemische Reaktion: Je weniger Moleküle noch vorhanden sind, desto langsamer schreitet die Reaktion voran, siehe Exponentialfunktion#Chemie, Kinetik (Chemie)#Reaktionen erster Ordnung.

Da die zeitliche Änderung nun negativ ist, lautet die Differentialgleichung

$-\tau \cdot \frac{dA}{dt} = A$ (es ist üblich, ein positives τ anzunehmen und das Vorzeichen in die Gleichung zu stecken)

und deren Lösung ist

$A(t) = A_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

Damit bekommt τ die Bedeutung einer Zeitspanne, in der die Größe A jeweils auf das $\frac{1}{e}$-fache (etwa 37%) abfällt. Man nennt diese Zeitspanne auch Zeitkonstante, siehe auch Lebensdauer (Physik).

Eine anschaulichere Größe bei exponentiellen Zerfallsprozessen ist die Halbwertszeit. Sie gibt an, innerhalb welcher Zeitspanne die Größe immer auf die Hälfte abnimmt, und lässt sich leicht aus der Zeitkonstante berechnen: $t_H = \tau \cdot ln(2)$

Exponentielle Annäherung

Bei vielen physikalischen Prozessen gleicht sich eine physikalische Größe zwischen zwei miteinander verbundenen Körpern/Systemen aus.

Exponentielle Annäherung an den Wert 1

.

Beispiele:

• Die Temperatur eines Metallklotzes gleicht sich an die Außentemperatur an.
• Die Temperaturen zweier unterschiedlich heißer, wärmeleitfähig verbundener Metallklötze gleichen sich aneinander an.
• Die Spannung eines zu ladenden Kondensators nähert sich der Ladespannung an.
• Die Stromstärke beim Einschaltvorgang einer Spule nähert sich der durch das Ohmsche Gesetz gegebenen Stromstärke an.
• Die Wasserstände zweier unterschiedlich gefüllter, mit einem dünnen Schlauch verbundener Wasserbehälter gleichen sich aneinander an.
• Diffusion: Die Konzentrationen eines Stoffes in zwei miteinander verbundenen Kammern gleichen sich aus.
• Die Fallgeschwindigkeit einer Kugel in Honig nähert sich exponentiell ihrer Endgeschwindigkeit (Stokes-Reibung).

Vielen dieser Beispiele ist gemeinsam, dass jeweils zwei Größen miteinander in Beziehung stehen, eine intensive Größe und eine extensive Größe:

• Temperatur und Wärmemenge (thermische Energie)
• elektrische Spannung und elektrische Ladung am Kondensator
• Wasserdruck und Volumen (oder Stoffmenge) in zylindrischen Behältern
• Konzentration und Stoffmenge

Die beiden Größen sind dabei jeweils proportional zueinander, und eine Differenz in der ersten Größe bewirkt, dass ein Fluss (oder Strom) der zweiten Größe zwischen den beiden Systemen fließt. Dieser wiederum bewirkt in den Systemen eine Änderung der ersten Größe:

• Eine Temperaturdifferenz bewirkt einen Wärmefluss und damit Temperaturänderungen in beiden Klötzen.
• Eine Spannungsdifferenz am Kondensator bewirkt einen Ladungsträgerfluss und damit eine Spannungsänderung.
• Ein Konzentrationsgefälle bewirkt einen Teilchenfluss und damit Konzentrationsänderungen.
• Eine Füllhöhendifferenz (→Druckdifferenz) bewirkt einen Materiefluss und damit Füllhöhenänderungen.

Die zeitliche Änderung der intensiven Größe ist dabei proportional zur Stärke des jeweiligen Flusses, und diese ist proportional zur Differenz der Größe. In einem solchen Fall gilt für eine Größe A also die Differentialgleichung

$-\tau\frac{dA}{dt} = A2-A1$

Dieser grundlegende Sachverhalt ist für die oben beschriebenen Phänomene gleich, deshalb lassen sich Erkenntnisse und Gesetze zwischen diesen auch gut übertragen. Die Diffusionsgesetze beispielsweise gelten ebenso für die Wärmeleitung und elektrische Ladung (elektrische Phänomene sind allerdings meist sehr schnell. Bei Flüssigkeiten/Gasen ohne starke Reibung/Dämfung sorgt die Trägheit der bewegten Masse für zusätzliche Effekte, meist in Form von Schwingungen und Wellen).

Ist einer der beiden Werte konstant (Außentemperatur, Ladespannung), so wird sich die betrachtete Größe an diesen Wert annähern. Sind beide werte variabel, so werden sie sich aneinander annähern. In beiden Fällen nähern sich die Werte einem Endwert A_Ende, den man meist leicht berechnen kann, an und man kann als Differentialgleichung schreiben

$-\tau\frac{dA}{dt} = A - A_{Ende}$

mit der Lösung

$A(t) = A_{Ende} + (A_{Anfang}-A_{Ende}) e^{-\frac{t}{\tau}})$

Dabei ist A_Anfang der Wert von A zu Beginn (bei Zeit t=0).

Der Exponentielle Abfall ist als Annäherung an den Wert 0 ein Spezialfall der Exponentiellen Annäherung, dann ist einfach A_Ende = 0.

Im Prinzip wird der Endwert A_Ende nie erreicht, sondern nur immer besser angenähert; praktisch wird die immer kleinere Differenz zum Endwert irgendwann kleiner als übliche Messungenauigkeiten. Nach der fünffachen Zeitkonstante (t = 5τ) ist die ursprüngliche Differenz bereits auf unter 1% abgesungen, nach der siebenfachen (t = 7τ) auf unter 1‰.

Die Zeitkonstante τ lässt sich im konkreten Fall bestimmen und hängt ab von Größen wie allgemeinen Widerständen und Kapazitäten:

• Für das Auf- oder Entladen eines Kondensators mit der elektrischen Kapazität C über einen Widerstand mit dem elektrischen Widerstand R kann man einfach das A in der obigen Gleichung durch die Spannung U ersetzen und dann ist gerade $\tau=R \cdot C$ .