Fallgesetz

Als Freier Fall ist die durch die Erdanziehungskraft, sog. Gravitation, bewirkte Bewegung eines Körpers frei vom Einfluss weiterer Kräfte definiert (siehe auch Schwerelosigkeit).

Beim freien Fall wird die Fallbeschleunigung und (auf der Erde) immer auch der Luftwiderstand wirksam. Diesem kann man im Vakuum in einem Fallturm entgehen oder bei einem Parabelflug durch eine mitfliegende „Luftwiderstandsabschirmung“ (Flugzeug) ausschalten. Eine Person im Inneren fühlt sich dabei schwerelos. Einen längeren Fall mit Luftwiderstand kann ein Mensch beim Fallschirm- oder Bungee-Springen erfahren.

Geschichte

Der griechische Philosoph Aristoteles (384–322 v. Chr.) beschäftigte sich mit der Bewegung von Körpern. Nach seiner Meinung bewegten sich im Wasser schwere Körper nach unten, leichte wegen „ihrer Leichtigkeit“ nach oben. Schwere Körper müssten daher schneller zu Boden fallen als weniger schwere. Giovanni Battista Benedetti (1530-1590) widerlegte 1554 in seinem Werk Demonstratio proportionum motuum localium contra Aristotilem et omnes philosophos in einem simplen Gedankenexperiment diese Annahme: Zwei gleiche Kugeln, die durch eine (masselose) Stange fest verbunden werden, fallen mit derselben Geschwindigkeit wie jede der beiden Kugeln allein.

Auch war Aristoteles der Meinung, ein Körper bewege sich während des Falles mit gleich bleibender Geschwindigkeit. Diese Auffassungen wurden sowohl bei den spätantiken Gelehrten als auch bei den arabischen und denen der Scholastik nicht ernsthaft in Zweifel gezogen. Galileo Galilei (1564–1642) erkannte 1590 die Gesetze des Freien Falls: Alle Körper fallen im Vakuum unabhängig von ihrer Gestalt, Zusammensetzung und Masse gleich schnell. Ihre Fallgeschwindigkeit ist proportional zur Fallzeit, der Fallweg proportional zum Quadrat der Fallzeit. Die Beschleunigung ist dabei am selben Ort für alle Körper gleich groß. Er versuchte durch Experimente die Fallbeschleunigung festzustellen. Er hatte jedoch noch keinen genauen Zeitmesser und „verlangsamte“ Bewegungen, indem er eine Kugel eine sog. Fallrinne hinabrollen ließ. Als Zeitmesser hatte er einen Eimer voll Wasser. Ein kleiner Wasserstrahl ergoss sich in einen Becher, und die Wassermenge während der Fallzeit wurde auf einer genauen Waage gewogen. Dass er den freien Fall auch an einem Beispiel erklärte, in dem er zwei Objekte vom Turm zu Pisa fallen ließ, ist eine Legende.

Erst Robert Boyle bestätigte 1659, dass Körper unterschiedlicher Masse im Vakuum gleich schnell fallen.

Isaac Newton (1643 - 1727) formulierte dann das Gravitationsgesetz, welches nicht nur den freien Fall auf der Erde erklärt, sondern auch die Umlaufbahnen von Mond und Planeten als Fallphänomene beschreibt.

Die allgemeine Formel für den freien Fall lautet (falls der Körper in der Höhe h₀ ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird, ohne Berücksichtigung der Luftreibung):

$h(t) = h_0-\frac{1}{2}gt^2$

wobei h die Höhe des Körpers zur Zeit t bezeichnet, h₀ die Ausgangshöhe und g die Fallbeschleunigung durch die Erdanziehungskraft. (Das Minuszeichen bezieht sich auf einen abwärts fallenden Körper.) Die Strecke s, die der Körper fallend zurückgelegt hat, ist demnach

$s(t)=|h(t)-h_0|=\frac{1}{2}gt^2$

Erdnaher Freier Fall

Auf der Erdoberfläche schwankt der Betrag der Fallbeschleunigung wegen der Erdabplattung und der Erdrotation in Meereshöhe zwischen ca. 9,78 m/s² (Äquator) und 9,83 m/s² (Pole). Zusätzlich ist sie von der Höhe über Normal-Null abhängig (siehe auch Ortsfaktor). Die Normal-Fallbeschleunigung legt DIN 1305 als g = 9,80665 m/s² fest. Der Wert für die Erdschwerebeschleunigung wird allgemein mit g = 9,81 m/s² angegeben.

• Beim Freien Fall in Erdnähe würde die Geschwindigkeit v eines fallenden Körpers - bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes - um 9,81 m/s pro Sekunde steigen. Dann wäre der Freie Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Ein Fallschirmspringer, der sich aus einem stationären Ballon fallen lässt, wird zunächst immer schneller, seine Geschwindigkeit nimmt stetig zu. Seine Beschleunigung entspricht dabei der Erdschwerebeschleunigung und ist größer als die eines Autos: Nach einer Sekunde hat er theoretisch eine Geschwindigkeit von v = 9,81 m/s (ca. 35 km/h), nach zwei Sekunden 19,62 m/s (ca. 71 km/h), nach drei Sekunden 29,43 m/s (ca. 106 km/h). In einem echten Freien Fall, d.h. im Vakuum, würde die Geschwindigkeit linear weiter entsprechend ansteigen.
• Tatsächlich wirkt auf den Fallschirmspringer jedoch auch der Luftwiderstand, welcher quadratisch mit der Geschwindigkeit ansteigt. Die resultierende Beschleunigung entspricht daher nur am Anfang der Erdschwerebeschleunigung, nachher nimmt sie ab, bis nach ca. 7 Sekunden die Beschleunigung Null wird - der Fallschirmspringer fällt nun mit der Fallgrenzgeschwindigkeit des menschlichen Körpers von ca. 55 m/s (ca. 198 km/h). (siehe Berechnung mit Tabellenkalkulation weiter unten)

Die als Freifall-Grenzgeschwindigkeit bezeichnete Höchstgeschwindigkeit von 198 km/h ist allerdings nicht die maximale Geschwindigkeit, die ein Fallschirmspringer bekommen kann, sondern nur diejenige Höchstgeschwindigkeit, die bei Einnahme der aus Bildern bekannten X-Lage erreicht wird. Die Geschwindigkeitsrekorde, die kopfüber aufgestellt werden, liegen bei knapp über 500 km/h.

Berechnung mit Differentialgleichungen

Kräfte am fallenden Körper ohne Reibung

Freier Fall (ohne Reibung)

Die Differentialgleichung für den freien Fall eines Körpers ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands folgt aus den Bewegungsgleichungen (2.Newtonsches Axiom):

$m\ddot z = -mg$

Durch Integration erhält man

$v(t) = \dot z(t) = -g t + v_0$

mit der Integrationskonstante v₀ als Anfangsgeschwindigkeit. Nochmalige Integration ergibt schließlich

$z(t)=-\frac{1}{2}g t^2 + v_0 t + z_0$

Dabei bezeichnet z(t) die momentane Höhe, z₀ die Anfangshöhe und v₀ die Anfangsgeschwindigkeit. z(t) und v(t) haben positives Vorzeichen nach oben.

Kräfte am fallenden Körper mit Stokes-Reibung

Fall mit Stokes-Reibung: F_R = βv

Siehe auch: Gesetz von Stokes

Bei kleinen Geschwindigkeiten ist die Reibung proportional zur Fallgeschwindigkeit:

$\vec F_\mathrm{R}\sim -\vec v$ oder $\vec F_\mathrm{R} = -\beta \vec v$

Die Differentialgleichung für die z-Komponente lautet somit

$m\ddot z = -mg - \beta \dot z$

wobei man wegen $\dot z = v$ auch schreiben kann:

$m\dot v = -mg - \beta v \quad (\mathrm{Gl.} 1)$

Diese Differentialgleichung führt zu den Ausdrücken

$v(t) = \frac{-mg}{\beta}\left( 1 - e^{-\beta t/m} \right) + v_0 e^{-\beta t/m}$

für den Geschwindigkeitsverlauf und

$z(t) = \left(v_0 + \frac{mg}{\beta}\right)\left(\frac{m}{\beta}\right)\left( 1 - e^{-\beta t/m} \right) - \frac{mg}{\beta}t + z_0$

für den Weg-Zeit-Verlauf. Die Geschwindigkeit hängt von der Masse des fallenden Körpers ab, was der Alltagserfahrung entspricht.

Die Grenzgeschwindigkeit, die sich für den freien Fall mit geschwindigkeits-proportionaler Reibung einstellen würde, beträgt

$\lim_{t \to \infty}v(t) = v_{\infty} = -\frac{mg}{\beta}$

Die Rechnung mit geschwindigkeits-proportionaler Reibung gilt allerdings nur für kleine Geschwindigkeiten. Bei höheren Geschwindigkeiten ist der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit.

Kräfte am fallenden Körper mit Newton-Reibung

Fall mit Luftwiderstand: Newton-Reibung F_R = kv²

Aus dem Kräfteansatz ma = mg − kv² entsteht die Differentialgleichung

$m \frac{dv}{dt} + k v^2 = m g$

Die Differentialgleichung ist durch Trennung der Veränderlichen analytisch lösbar. Auflösen nach dt, Partialbruchzerlegung, Integration und umstellen nach v(t) liefert für die Geschwindigkeit:

$v(t) = \sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh\left(\sqrt{\frac{kg}{m}} \cdot t\right)$

tanh ist der Tangens Hyperbolicus. Die Grenzgeschwindigkeit bzw. Endgeschwindigkeit beträgt $v_{\infty} = \sqrt{\frac{mg}{k}}$.

Die Konstante k ist von der Form des Körpers und von der Dichte des strömenden Mediums - wie beispielsweise der Luft - abhängig. Es gilt: k = 0,5c_wAρ, wobei c_w der Widerstandsbeiwert, A die Körperquerschnittsfläche und ρ die Dichte des umgebenden Mediums (Luft) ist.

Berechnung mit Tabellenkalkulation

Einführung

Die Berücksichtigung des Luftwiderstandes erfordert zur Lösung der Bewegungsgleichung aufwendige höhere Mathematik, die nicht jedermanns Sache ist. Trotzdem sind damit nur relativ einfache Probleme in „geschlossener Form“ lösbar. Mit Hilfe von Tabellenkalkulation kann man derartige Probleme aber in viele einfache und vor allem lösbare Teilaufgaben zerlegen, deren Ergebnisse man durch das Computerprogramm zur Gesamtlösung zusammensetzen lässt. Die Vorteile liegen auf der Hand:

• Man benötigt keine Kenntnisse in höherer Mathematik
• Die Integration wird durch Summieren ersetzt. Das Ergebnis ist zwar nicht exakt, genügt aber allen praktischen Anforderungen.
• Anhand von Zwischenergebnissen erkennt man sofort kleine Irrtümer, die sich korrigieren lassen.
• Die vielen überprüfbaren Zwischenergebnisse steigern das Vertrauen in das Resultat.
• Durch Hinzufügen weiterer relevanter Formeln kann die Lösung schrittweise der Realität angepasst werden.
• Das Verfahren ist hervorragend geeignet, um räumliche Probleme wie Strömung oder Feldstärken bei komplexen Geometrien zu berechnen. Dazu müssen die Ergebnisse von „Nachbarn“ miteinander verknüpft werden.

Die Vorgehensweise ist immer gleich: Mit elementaren Formeln werden relevante Größen wie Kraft, Beschleunigung oder Temperatur für einen gewissen Zeitpunkt berechnet - das sind die Anfangswerte für den nächsten Zeitpunkt. Die Ergebnisse sind nur dann korrekt, wenn sich von einem Zeitpunkt zum nächsten nur wenig ändert. Wie groß diese Änderungen und vor allem jeder Zeitschritt sein dürfen, kann man den Ergebnissen leicht entnehmen. Komplexe Formeln, wie sie beispielsweise bei der Wettervorhersage vorkommen, lassen sich gar nicht anders auswerten.

Einzelformeln des freien Falls mit Luftwiderstand

In der folgenden Berechnung wird angenommen, dass ein kugelförmiger Eisen-Meteor der Masse m = 4 g und der Querschnittsfläche A = 1 cm² mit der Geschwindigkeit v = 15 km/s in die Atmosphäre eindringt und abgebremst wird. Gesucht sind Geschwindigkeit und Bremsverzögerung als Funktion der Höhe. Diese Werte werden in bekannte Formeln eingesetzt und für jeden Zeitschritt neu berechnet. Die Einzelergebnisse werden in der Tabelle zu den gesuchten Größen kombiniert und zum Schluss graphisch ausgegeben. Man startet das Verfahren in ausreichend großer Höhe h, wo der Luftwiderstand noch vernachlässigbar ist.

• Die Gravitationsbeschleunigung der Erde wird mit zunehmendem Abstand h über der Erdoberfläche kleiner. Dafür gilt

$a_\mathrm{gravi} = 9{,}81\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot \left( \frac{6370000\,\mathrm{m}}{6370000\,\mathrm{m} +h} \right)^2$

• In dieser Höhe h beträgt die Dichte der Luft nur noch (Barometrische Höhenformel)

$\rho(h) = \rho(\text{Boden}) \cdot e^{-\frac{h}{8400\,\mathrm{m}}}$

• Der Strömungswiderstand in Luft F_Luft bei der Geschwindigkeit v hängt auch von dieser Dichte ab

$F_\text{Luft} = 0{,}5 \cdot \rho(h) \cdot C_w \cdot A \cdot v^2$

• Bei Flugrichtung zum Erdmittelpunkt ist die effektive Beschleunigung auf den Meteor der Masse m die Differenz von Gravitationsbeschleunigung und Bremsbeschleunigung

$a_\mathrm{gesamt} = a_\mathrm{gravi} - \frac{F_\mathrm{Luft}}{m}$

• Mit diesem Zwischenergebnis lässt sich einen Zeitschritt dt später die dann gültige Geschwindigkeit errechnen

$v_\mathrm{neu} = v_\mathrm{alt} + a_\mathrm{gesamt} \cdot dt$

• und daraus der Ort, an dem sich der Meteor dann befindet. Damit startet ein neuer Zyklus.

$h_\mathrm{neu} = h_\mathrm{alt} + v_\mathrm{neu} \cdot dt$

Die Berechnung erfolgt schrittweise mit elementaren Mitteln und entspricht einer einfachen Integration, die bei ausreichend kleinem dt brauchbare Ergebnisse liefert. Speziell für die letzten beiden Schritte existieren bessere, aber auch aufwendigere Verfahren, die in Numerische Integration beschrieben sind. Oft ist deren Anwendung übertrieben, wenn nur ein schneller Überblick gewünscht wird oder - wie in diesem Beispiel - die Formel für den Strömungswiderstand für Überschallgeschwindigkeit nicht exakt gilt.

Numerische Lösung

Berechnungstabelle für freien Fall mit Luftwiderstand

Abbremsung eines Meteors in der Atmosphäre

Zunächst werden die Parameter in den Zellen J1 bis J5 und die Startwerte in A3, B3, C3 festgelegt, diese Werte werden fast überall in der Tabelle benötigt. In anderen Programmiersprachen würde man von „globalen Variablen“ sprechen. Die eben aufgezählten Formeln werden in benachbarten Spalten der Tabellenkalkulation programmiert, die Zwischenergebnisse werden im Regelfall in weiter rechts liegenden Spalten weiterverarbeitet. Die „Weiterschaltung“ in die folgende Zeile erfolgt dadurch, dass das Ergebnis der Zelle G3 verwendet wird, um den Inhalt der Zelle B4 nach dem folgenden Zeitschritt zu berechnen. Zum Schluss kopiert man die Formeln der 3. bzw. 4. Zeile in die nächsten 2000 Zeilen - gleichzeitig wird das Ergebnis berechnet.

Von ausschlaggebender Wichtigkeit für die physikalische Korrektheit der Ergebnisse ist die sinnvolle Wahl des Zeitschrittes dt, der möglichst klein sein soll und in der nebenstehenden Tabelle den - für diese Aufgabenstellung - recht hohen Wert 0,2 s hat. Das führt in der Umgebung der Zelle G20 zu gerade noch akzeptierbaren Wertesprüngen von etwa 40 %. Allerdings bewirkt auch eine Vergrößerung auf dt = 1 s noch keine gravierenden Änderungen, was die Robustheit dieses Lösungsverfahrens demonstriert.

Im nebenstehenden Bild wird neben der Tabelle die Gesamtbeschleunigung in Abhängigkeit von der Höhe dargestellt. Die überraschenden Ergebnisse:

• Die Meteore werden fast unabhängig von ihrer Masse in etwa 40 km Höhe am stärksten gebremst und können dabei in Bruchstücke zerlegt werden oder verglühen.
• Die Geschwindigkeiten in den letzten Kilometern über der Erdoberfläche betragen stets etwa 40 m/s - wenn die Bruchstücke bis dahin nicht verglüht sind. Der berechnete Geschwindigkeitsverlauf ist im unteren Bild dargestellt.

Weiterführende Untersuchungen

Das beschriebene Verfahren lädt dazu ein, Parameter wie Größe und Anfangsgeschwindigkeit zu variieren und deren Auswirkungen auf die berechneten Ergebnisse zu untersuchen. Diese Art von „experimenteller Mathematik“ kann zu größerem Verständnis der enthaltenen Physik führen als die Auswertung der komplexen Formeln im vorhergehenden Absatz.

Siehe auch

• Wurfparabel
• Meteor

Weblinks

• Freier Fall eines Bleizylinders und einer Feder im Vakuum im Vergleich (Experiment mit Video)
• Video aus der Sendung „Anderthalb“ über den Freien Fall (1.5 Minuten): schnelle Verbindung langsame Verbindung