Gravizentrum

Das Gravizentrum eines Körpers bezeichnet den Punkt eines Objektes der Masse m, wo eine stattdessen befindliche Punktmasse m eine äquivalente gravitative Wirkung hätte. Da es für ein homogenes Gravitationsfeld (z.B. in der Nähe der Erdoberfläche) mit dem Schwerpunkt des Körpers übereinstimmt, werden die zwei Begriffe häufig synonym verwendet. Dieser Artikel befasst sich jedoch mit dem allgemeinen Fall, der auch inhomogene Gravitationsfelder umfasst.

Überblick

Bei näherer Betrachtung weist der Begriff des Schwerpunkts als Zentrum der Schwerkraft eine komplexere Struktur auf als man von der intuitiven Anschauung her - unter vereinfachenden Bedingungen wie konstante Schwerkraft und homogene Dichte - erwartet. Der Gesamtschwerpunkt einer Ansammlung lässt sich oft aus der gewichteten Summe der Schwerpunkte ihrer Subsysteme ermitteln , die so gewählt werden, dass ihre Schwerpunkte leicht zu bestimmen sind. Falls das nicht möglich ist, z. B. bei unregelmäßig geformten Körpern, wird er als das erste Moment der Verteilungsfunktion der Dichte $\rho(\vec x)$ dieser Ansammlung im Raum berechnet, normiert auf das Gesamtgewicht G.

Ist das Gravitationsfeld inhomogen, so integriert man nicht über die Dichte (Massen), sondern über die Wichte. Für ein zentralsymmetrisches Gravitationsfeld ist dieses Integral:

$\vec x_s=\frac{1}{G}\int \vec x \cdot g(\vec x)\cdot \rho(\vec x)\mathrm dV\$ mit $\ G=\int g(\vec x)\cdot \rho(\vec x)\mathrm dV\$.

Die Verteilungsfunktion ist das Produkt einer externen und einer internen Komponente: die externe wird von der ortsabhängigen Schwerkraft $g(\vec x)$ gebildet, die interne von der Ansammlung definierte ist die Dichte. Diese Dichte gibt an, wo wie viel von „dem, was dem betrachteten System zugeordnet wird,“ lokalisiert ist, außerhalb ist sie Null; so beschreibt die Dichtefunktion die Form der Objekte.

Bei einem konstanten Schwerefeld (wie zum Beispiel näherungsweise auf der Erdoberfläche oder bei Objekten, die so klein sind, dass sich die Schwerkraft im Bereich ihres Volumens nicht merklich ändert) stimmt der Schwerpunkt des Systems mit seinem Massenmittelpunkt überein, der begrifflich zu den Erwartungswerten gehört, die aus der Statistik oder der Quantenmechanik bekannt sind, wobei die Dichtefunktion der Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. dem Quadrat der Wellenfunktion entspricht.

Massenmittelpunkt und Gravizentrum

Wenn die Schwerebeschleunigung an allen Teilen des Körpers gleich groß ist, ist die Lage des Massenmittelpunkts identisch mit dem Gravizentrum. Ist das nicht der Fall (inhomogenes Gravitationsfeld), weichen die beiden Punkte voneinander ab. Welcher der beiden Punkte als "Schwerpunkt" bezeichnet wird, hängt dann vom Autor ab.

An der Erdoberfläche ist die Schwerebeschleunigung auf der oberen Seite eines einen Meter großen Würfels um 3·10⁻⁷ kleiner als die Schwerebeschleunigung auf der unteren Seite des Würfels. Das bedeutet, dass Massenmittelpunkt und Gravizentrum etwa 1,5 µm voneinander entfernt sind. Für technische Anwendungen sind die Abweichungen so klein, dass sie ohne praktische Bedeutung sind.

In der Astrophysik kann der Unterschied wegen weit größerer Dimensionen jedoch wichtig sein.