- Halbreflexiver Raum
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Reflexivität ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis und der Algebra.
Inhaltsverzeichnis
Reflexive Räume
In der Funktionalanalysis ist Reflexivität eine Eigenschaft von normierten (Vektor-)Räumen.
Es sei
ein normierter Raum. Man kann zeigen, daß sein (topologischer) Dualraum X * ein Banachraum ist. Dessen Dualraum
wird mit X * * bezeichnet und heißt Bidualraum von X.
Durch die Abbildungsvorschrift
wird eine stetige lineare Isometrie
definiert, die sog. kanonische Einbettung. Die definierende Gleichung von JX liest sich also in Bilinearformschreibweise so:
Als Isometrie ist JX injektiv. Falls JX zusätzlich surjektiv ist, also insgesamt ein isometrischer Isomorphismus zwischen X und X * * ist, so nennt man X einen reflexiven Raum.
Beispiele
- Nach dem rieszschen Darstellungssatz ist jeder Hilbertraum reflexiv.
- Abgeschlossene Unterräume reflexiver Räume sind reflexiv.
- Ein Banachraum E ist genau dann reflexiv, wenn sein Dualraum E * es ist.
- Jeder endlichdimensionale Banachraum ist reflexiv.
- Für alle
und alle
sind die Lebesgue-Räume
sowie alle Sobolev-Räume
für alle offenen Teilmengen
reflexiv.
- Für alle
sind die Folgenräume
mit
reflexiv.
- Die Banachräume
sind nicht reflexiv.
Eigenschaften reflexiver Räume
Jeder reflexive normierte Raum ist ein Banachraum, denn er ist nach Definition isomorph zum vollständigen Bidualraum. In reflexiven Banachräumen ist die abgeschlossene Einheitskugel (allgemeiner jede beschränkte und schwach abgeschlossene Teilmenge) schwach kompakt, d.h. kompakt bzgl. der schwachen Topologie (dies folgt direkt aus dem Satz von Banach-Alaoğlu über die schwach*-Kompaktheit der Einheitskugel des Bidualraum eines reflexiven Banachraums).
Diese Eigenschaft charakterisiert die reflexiven Räume: Ein Banachraum ist genau dann reflexiv, wenn seine Einheitskugel schwach kompakt ist.
Insbesondere besitzt jede beschränkte Folge in einem reflexiven Banachraum eine schwach konvergente Teilfolge. Weiter gelten folgende Permanenzaussagen:
- X ist genau dann reflexiv, wenn X * reflexiv ist.
- Ist X reflexiv und
ein abgeschlossener Unterraum, so sind Y und X / Y reflexiv.
Anwendungen
Zusammen mit den sobolevschen Einbettungssätzen liefert die Existenz von schwach konvergenten Teilfolgen beschränkter Folgen häufig Lösungen von Variationsproblemen und damit partiellen Differentialgleichungen.
Reflexive lokalkonvexe Räume
Versieht man den Dualraum eines lokalkonvexen Raums X mit der starken Topologie, so erhält man eine injektive, stetige, lineare Abbildung
. X heißt reflexiv, wenn JX ein topologischer Isomorphismus ist und halbreflexiv, wenn JX surjektiv ist. Im Gegensatz zum Fall normierter Räume ist JX im halbreflexiven Fall nicht automatisch ein topologischer Isomorphismus. Es gelten folgende Sätze:
- Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann halbreflexiv, wenn jede schwach abgeschlossene beschränkte Menge schwach kompakt ist.
- Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann reflexiv, wenn er halbreflexiv und quasitonneliert ist.
Reflexive Moduln
Ist M ein Modul über einem kommutativen Ring A mit Einselement, so wird der A-Modul
der duale Modul von M genannt; der Modul
heißt Bidualmodul. Es gibt eine kanonische Abbildung
die im allgemeinen weder injektiv noch surjektiv ist. Ist sie ein Isomorphismus, so heißt M reflexiv.
Literatur
- R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8
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