- Harmonische Funktion
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In der Analysis heißt eine reellwertige, zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch, wenn die Anwendung des Laplace-Operators auf die Funktion null ergibt, die Funktion also eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf Distributionen und Differentialformen übertragen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei
eine offene Teilmenge. Eine Funktion
heißt harmonisch in U, falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und für alle
- Δf(x) = 0
gilt. Dabei bezeichnet
den Laplace-Operator.
Mittelwerteigenschaft
Die wichtige Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft, welche äquivalent ist zur Definition:
Eine stetige Funktion
ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn
für alle Kugeln
mit
. Hierbei bezeichnet
das Oberflächenmaß der n-dimensionalen Einheitssphäre.
Weitere Eigenschaften
Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.
- Maximumprinzip: Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes U nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss
, so werden Maximum und Minimum auf dem Rand
angenommen.
- Glattheit: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird.
- Abschätzung der Ableitungen: Sei f harmonisch in U. Dann gilt für die Ableitungen
wobei vn das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet. - Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann.
- Satz von Liouville: Eine beschränkte harmonische Funktion
ist konstant.
- Harnack-Ungleichung: Für jede zusammenhängende, offene und relativ kompakte Teilmenge
gibt es eine Konstante
, die nur von dem Gebiet V abhängt, so dass für jede in U harmonische und nichtnegative Funktion f
gilt. - Im Sonderfall n = 2 für ein einfach zusammenhängendes Gebiet
können die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden.
- Jede harmonische Funktion ist auch eine biharmonische Funktion.
Beispiel
Die Grundlösung
ist eine auf
harmonische Funktion, worin ωn das Maß der Einheitssphäre im
bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung.
Literatur
- Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).
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