Kosmische Geschwindigkeiten

Als kosmische Geschwindigkeiten, auch astronautische Geschwindigkeiten, werden einige Geschwindigkeitswerte bezeichnet, die in der Raumfahrt besondere Bedeutung haben und sich aus den physikalischen Bedingungen der Erde sowie der Himmelsmechanik ergeben.

Gegenstand	v in km/s	vopt in km/s
1. kosmische Geschw.	7,9	7,4
2. kosmische Geschw.	11,2	10,7
3. kosmische Geschw.	42,1	12,3
4. kosmische Geschw.	320	100

Die Tabelle fasst die kosmischen Geschwindigkeiten 1 bis 4 zusammen. Die Werte verringern sich im Idealfall auf v_opt, wenn man die Rotationsgeschwindigkeit der Erde am Äquator bzw. die Bahngeschwindigkeit des Systems vollständig nutzen kann.

Erste kosmische Geschwindigkeit oder Kreisbahngeschwindigkeit

Ein Satellit mit der 1. kosmischen Geschwindigkeit beschreibt eine Kreisbahn entlang der Oberfläche eines Himmelskörpers (z.B. Erde), analog zur Bahn C. Gegenüber Bahn C bewirkt eine größere Geschwindigkeit die ellipsenförmige Bahn D. Bei Erreichen der 2. kosmischen Geschwindigkeit entfernt sich der Flugkörper auf der Parabelbahn E.

Ein Flugkörper benötigt eine bestimmte Geschwindigkeit, um einen Himmelskörper (Zentralkörper) antriebslos auf einer Kreisbahn zu umrunden. Diese Geschwindigkeit v ergibt sich durch Gleichsetzen der Gravitationskraft und der Radialkraft, da diese die Radialkraft für die Kreisbewegung aufbringt:

$G\frac{m M }{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

wobei G die Gravitationskonstante, r der Abstand zwischen Flugkörper und Zentrum des Himmelskörpers, M die Masse des Himmelskörpers und m die Masse des Flugkörpers ist. Umstellen nach v ergibt:

$v = \sqrt{G\frac{ M }{r}}$.

Für die kleinstmögliche Kreisbahn um den Himmelskörper (r gleich Radius R des Himmelskörpers) ergibt sich daraus für einen Flugkörper die erforderliche sogenannte erste kosmische Geschwindigkeit v₁:

$v_1 = \sqrt{G\frac{ M }{R}}$.

Die erste kosmische Geschwindigkeit für die Erde als Himmelskörper beträgt etwa 7,91 km/s (28476 km/h). Für den Mond beträgt sie 1,68 km/s (6048 km/h). Die Umlaufperiode auf dieser Kreisbahn entspricht der Schuler-Periode.

Für jede kreisförmige Umrundung eines Himmelskörpers in einer bestimmten Höhe über diesem (r > R) ist eine geringere Kreisbahngeschwindigkeit als v₁ erforderlich. Wegen des Luftwiderstands haben Erdsatelliten eine Bahnhöhe von mindestens 150 km über der Erdoberfläche. Die dazu notwendige Bahngeschwindigkeit verringert sich von 7906 m/s (bei R=6378 km für die Erdoberfläche) auf 7815 m/s (bei R=6528 km für eine Bahnhöhe von 150 km). Das heißt ein Flugkörper muss bei Erreichen seiner kreisförmigen Umlaufbahn nicht die erste kosmische Geschwindigkeit v₁ aufweisen, es genügt die Kreisbahngeschwindigkeit v der jeweiligen Bahnhöhe.

Ein Teil der erforderlichen Kreisbahngeschwindigkeit wird beim Start von der Erde aus bereits von der Erdrotation aufgebracht, abhängig von der geographischen Breite des Startorts und der Startrichtung. Im Idealfall (Start am Äquator in Richtung Osten) beträgt dieser Beitrag 460 m/s.

Zweite kosmische Geschwindigkeit oder Fluchtgeschwindigkeit

Parabel als Grenzfall der Ellipse und Hyperbelbahnen

Hat der Satellit eine größere Geschwindigkeit als die seiner Flughöhe entsprechende Kreisbahngeschwindigkeit, verformt sich seine Flugbahn zu einer Ellipse (hier bleibt nur der einfache Fall des waagerechten Abschusses betrachtet, die Fluchtgeschwindigkeit bleibt aber prinzipiell von der Abschussrichtung unabhängig) mit größerer Exzentrizität. Im Grenzfall liegt der erdferne Punkt der Umlaufbahn im Unendlichen, so dass der Satellit sich nicht mehr auf einer geschlossenen elliptischen Umlaufbahn befindet, sondern sich auf einer Parabelbahn von der Erde entfernt. Die hierzu notwendige Geschwindigkeit wird als zweite kosmische Geschwindigkeit, Fluchtgeschwindigkeit oder Entweichgeschwindigkeit bezeichnet. Bei einer noch höheren Geschwindigkeit nimmt die Flugbahn die Form eines Hyperbelasts an; in diesem Fall verbleibt im Unendlichen eine Geschwindigkeit, die als hyperbolische Exzessgeschwindigkeit oder hyperbolische Überschussgeschwindigkeit bezeichnet wird und die Energie der Hyperbelbahn charakterisiert.

Herleitung nach der Potentialtheorie

Um ein Gravitationsfeld verlassen zu können, muss die kinetische Energie eines Gegenstandes größer oder gleich der potentiellen Energie des Himmelskörpers sein, also

$\frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{G M m}{R}$.

Umstellen nach v₂ ergibt

$v_2 = \sqrt{\frac {2 G M}{R}}$.

Die Fluchtgeschwindigkeit ist um den Faktor $\sqrt{2}$ größer als die erste kosmische Geschwindigkeit. Für die Erde beträgt sie etwa 11,2 km/s (40.320 km/h).

Fluchtgeschwindigkeit in der Raumfahrt

Beispiele: Einige Fluchtgeschwindigkeiten

Himmels- körper	Fluchtgeschwindigkeit am Äquator
	in m/s	in km/s	in km/h
Merkur	4.300	4,3	15.480
Venus	10.200	10,2	36.720
Erde	11.200	11,2	40.320
Mond	2.300	2,3	8.280
Mars	5.000	5,0	18.000
Jupiter	59.600	59,6	214.560
Saturn	35.500	35,5	127.800
Uranus	21.300	21,3	76.680
Neptun	23.300	23,3	83.880
Pluto	1.100	1,1	3.960
Sonne	617.300	617,3	2.222.280

Interplanetare Raumsonden befinden sich häufig zuerst auf einer Erdumlaufbahn, bevor die Triebwerke erneut gezündet werden und den Flugkörper auf die erforderliche Geschwindigkeit oberhalb der Fluchtgeschwindigkeit beschleunigen. Hierbei leistet die Umlaufgeschwindigkeit bei entsprechender Wahl der Flugbahn bereits einen großen Beitrag zur notwendigen Endgeschwindigkeit.

Für Flugbahnen zum Mond muss die Fluchtgeschwindigkeit nicht vollständig erreicht werden, vielmehr muss die maximale Entfernung des Flugkörpers zur Erde der Distanz Erde–Mond entsprechen. Die tatsächliche Flugbahn ist durch den Einfluss des Mondes (eingeschränktes Dreikörperproblem) nicht algebraisch berechenbar.

Dritte kosmische Geschwindigkeit

Wird die Fluchtgeschwindigkeit nicht auf die Erde, sondern auf die Sonne angewandt, spricht man auch von der dritten kosmischen Geschwindigkeit, die notwendig ist, um das Sonnensystem zu verlassen. Hierbei wird für r üblicherweise die Entfernung Erde–Sonne eingesetzt, so dass sich ein Wert von 42,1 km/s ergibt, der für eine ruhende Erde gilt. Da die Umlaufgeschwindigkeit der Erde um die Sonne bereits 29,8 km/s beträgt, ist bei günstiger Abschussrichtung nur eine Geschwindigkeit von 12,3 km/s relativ zur Erde notwendig, um das Sonnensystem zu verlassen. Startet man von der Erdoberfläche aus, muss zu dieser Geschwindigkeit die Fluchtgeschwindigkeit der Erde quadratisch addiert werden, man erhält so den gesamten Antriebsbedarf von etwa 16,5 km/s.

Vierte kosmische Geschwindigkeit

Die vierte kosmische Geschwindigkeit ist schließlich nötig, um auch die Milchstraße zu verlassen. Aus der Angabe, dass die Sonne für einen Umlauf um das galaktische Zentrum im Abstand von 28.000 Lichtjahren 230 Millionen Jahre benötigt, ergibt sich aus dem dritten keplerschen Gesetz für die innere Masse der Galaxie $M = 2 \cdot 10^{41} \text{ kg}$,^[1] womit die Fluchtgeschwindigkeit von der ruhenden Sonne aus ca. 320 km/s^[2] beträgt. Nutzt man die Umlaufgeschwindigkeit der Sonne um die Galaxis, die bei 220 km/s liegt, reduziert sich die vierte kosmische Geschwindigkeit auf ca. 100 km/s.

Siehe auch

• Vis-Viva-Gleichung
• Keplerbahn

Quellen

• Kosmische Geschwindigkeiten (LEIFI-Physik)

Einzelnachweise

1. ↑ Google Rechner: Masse der Galaxis
2. ↑ Berechnung der vierten kosmischen Geschwindigkeit für die Erde mit dem Google Calculator