Keplerbahn

Keplerbahnen sind die Lösungen des Keplerproblems, wie sich ein kleiner Himmelskörper um einen größeren bewegt. Die Lösungen sind die Kegelschnitte Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel, die sich in ihrer Gesamtenergie unterscheiden. Die Keplerellipse mit der Bahnachse als Parameter, die die Kreisbahn als Spezialfall enthält, beschreibt periodische Umlaufbahnen, beispielsweise Sonne-Erde, Erde-Mond.

Ideale Keplerbahn

Vier der sechs Bahnelemente von Planeten. Die Richtung des Bahnknotens (Ω) wird vom Frühlingspunkt gezählt.

Im Idealfall, dass keine weiteren Körper existieren (Zweikörperproblem), erfolgt die gegenseitige Bewegung nach den drei keplerschen Gesetzen.

In Polarkoordinaten (r,ϕ) mit Ursprung im Zentralgestirn lässt sich die geometrische Form der Keplerbahnen durch die folgende Formel beschreiben:

$r (\varphi) = {p \over { 1 + \varepsilon \cdot \cos \varphi}}, ~ \varphi \in I$

Dabei bezeichnet r den Abstand des umlaufenden Himmelskörpers vom Zentralgestirn, ϕ den Winkel zwischen den Verbindungslinien Zentralgestirn–Periapsis und Zentralgestirn–Himmelskörper (Wahre Anomalie). Die zwei Konstanten $\epsilon$ (die numerische Exzentrizität) und p (der Halbparameter) beschreiben die Form der Keplerbahn. Für ε = 0 handelt es sich um eine Kreisbahn, für 0 < ε < 1 um eine Ellipse, für $\epsilon = 1$ um eine Parabel und für ε > 1 um eine Hyperbel. Das Intervall I in dem der Winkel ϕ variiert, hängt vom Typ der Bahn und, im Fall der Hyperbel, von der Exzentrizität $\epsilon$ ab: $I = \R$ für Kreisbahnen und Ellipsen, I = ( − π,π) für Parabeln, $I = (-\arccos \tfrac{1}{\varepsilon},\arccos \tfrac{1}{\varepsilon})$ für Hyperbeln.

Keplerbahnen lassen sich exakt durch sechs sogenannte Bahnelemente beschreiben.

Parabelbahnen und Hyperbelbahnen sind ungebundene Zustände, die bei manchen Kometen vorliegen. Bei diesen Bahnen gibt es nur eine einzige Annäherung, der Komet verschwindet anschließend ohne Wiederkehr aus dem Sonnensystem.

Geschwindigkeit

Aufgrund der Energieerhaltung ist die Bahngeschwindigkeit außer im Fall des Kreises nicht konstant, sondern nimmt zu, wenn der Abstand zwischen den Körpern kleiner wird. Der Strecke entlang der Keplerbahn, die für den direkten Weg-Zeit-Zusammenhang der Geschwindigkeit gebraucht wird, besitzt nur in Spezialfällen eine analytische Lösung. Durch Betrachtung von kinetischer und potentieller Energie gelingt die Herleitung der Vis-Viva-Gleichung.

Sie stellt eine Verbindung zwischen der Masse M des Zentralkörpers, der Gravitationskonstante G, der großen Halbachse der Umlaufellipse, der Entfernung r des umlaufenden Körpers und der Geschwindigkeit v dieses Körpers her:

$v=\sqrt { GM\left({{2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right) }$

Für die Hauptscheitel der Ellipse gibt es aber auch analytische Lösungen, die sich allein mithilfe der Ellipsengeometrie berechnen lassen, und ohne die Gravitationsparameter auskommen:^[1]

Winkelgeschwindigkeit im Perizentrum: $\omega_\mathrm{p} = \omega_\mathrm{m} \sqrt { a^2 (a + e) / (a - e) ^3 }$

Winkelgeschwindigkeit im Apozentrum: $\omega_\mathrm{a} = \omega_\mathrm{m} \sqrt { a^2 (a - e) / (a + e) ^3 }$

• ω_m: mittlere Winkelgeschwindigkeit, ω_m = 2π / T
• T: Umlaufdauer
• a: große Halbachse
• e: lineare Exzentrizität

Weil sich der Radiusvektor in den Scheiteln differentiell kaum ändert, gilt:

Perizentrumsgeschwindigkeit: $v_\mathrm{r} = \omega_\mathrm{p} (a - e) = \frac {2 \pi }{ T } a \sqrt { \frac {a + e}{a - e} }$

Apozentrumsgeschwindigkeit: $v_\mathrm{r} = \omega_\mathrm{a} (a + e) = \frac {2 \pi }{ T } a \sqrt { \frac {a - e}{a + e} }$

Störende Kräfte

Durch unregelmäßige oder weitere Himmelskörper ist das Schwerefeld jedoch nicht kugelsymmetrisch, wodurch Bahnstörungen entstehen. Auch kleine Bremseffekte durch Gase oder Meteoroiden, durch Strahlungsdruck und gemäß der Relativitätstheorie tragen zu ihnen bei. Dadurch ändern sich die Zahlenwerte der sechs Bahnelemente langsam.

Man kann diese zeitabhängigen oder periodischen Effekte durch die Methode „Variation der Elemente“ berechnen, wobei jede momentane („oskulierende“) Keplerellipse stetig in die nächste übergeht. Die Bahnstörungen können langzeitlich (immer in gleicher Richtung) oder periodisch sein. In der Nähe von irregulär geformten Himmelskörpern oder beim Flug durch Materiewolken treten auch unregelmäßige Effekte auf.

Die Bahnachsen (a) der acht Planeten unseres Sonnensystems bleiben praktisch konstant, weil ihre Massen groß und die Bahnen kreisähnlich sind. Kleinplaneten (Asteroiden) und Kometen können aber gravierende Änderungen erfahren, wenn sie einem Planeten nahekommen. Bei niedrigen künstlichen Erdsatelliten betragen die Bahnstörungen einige Zehntel Grad pro Stunde bzw. einige Kilometer und lassen auf die genaue Form des Geoids schließen.

Streng genommen gelten exakte Keplerbahnen nur für kugelförmige Körper, doch ist diese Bedingung bei größeren Entfernungen in der Astronomie hinreichend erfüllt. Auch für Mondbahnen um stark abgeplattete Planeten (z. B. Jupitermonde) kann man genähert mit Keplers Formeln rechnen, wenn das dritte Keplergesetz um einen kleinen Faktor ergänzt wird. De facto läuft dies (zusätzlich zur Bahnachse a) auf ein siebentes Bahnelement für die Umlaufzeit hinaus.

Siehe auch

• Bahnbestimmung
• Gravitationsgesetz
• Kepler-Gleichung
• Satellitenbahnelement
• Störungstheorie (Klassische Physik)
• Vis-Viva-Gleichung

Einzelnachweise

1. ↑ Norbert Treiz: Wie schnell sieht die Sonne einen Planeten wandern?. In: Spektrum der Wissenschaft. 04/09, spektrum Akademischer Verlag, April 2009, Physikalische Unterhaltungen. Sonnensystem (III): Keine Sonnenuhr für den Merkur., S. 36–38 (Kasten S. 37 – mit Herleitung der Formeln über die Energieerhaltung).