- Laplaceexperiment
-
Die Laplace-Verteilung (benannt nach Pierre-Simon Laplace, einem französischen Mathematiker und Astronomen) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da sie die Form zweier aneinandergefügter Exponentialverteilungen hat, wird sie auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Eine stetige Zufallsgröße X unterliegt der Laplace-Verteilung mit dem Lageparameter und dem Skalenparameter σ > 0, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt.
Ihre Verteilungsfunktion lautet
Eigenschaften
Erwartungswert, Median, Modalwert
Der Parameter μ ist Erwartungswert, Median und Modalwert.
Varianz
Die Varianz wird durch den Parameter σ bestimmt.
Kurtosis
Die Kurtosis einer Laplace-Verteilung ist identisch 6 (entspricht einem Exzess von 3).
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion hat die Form
- .
Zufallszahlen
Zur Erzeugung doppelexponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.
Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion lautet hierbei
- .
Zu einer Folge von Standardzufallszahlen ui lässt sich daher eine Folge
- xi: = F − 1(ui)
doppelexponenzialverteilter Zufallszahlen berechnen.
Beziehung zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Normalverteilung
Sind unabhängige standardnormalverteile Zufallsgrößen dann ist standardlaplaceverteilt.
Beziehung zur Exponentialverteilung
Eine Zufallsvariable X: = Yλ − Zλ, die als Differenz zweier unabhängiger und in beiden Fällen exponentialverteilter Zufallsvariablen Yλ und Zλ mit demselben Parameter definiert ist, ist Laplace-verteilt.[1]
Abgrenzung zur stetigen Gleichverteilung
Die so definierte stetige Laplaceverteilung hat nichts mit der stetigen Gleichverteilung zu tun. Sie wird mit ihr trotzdem gerne verwechselt, weil die diskrete Gleichverteilung nach Laplace benannt ist (Laplacewürfel).
Weblinks
- Universität Konstanz - Interaktive Animation
Quellen
- ↑ Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, 1972, S. 930
Wikimedia Foundation.