Neunerlemma

Das Neunerlemma ist eine mathematische Aussage über kommutierende Diagramme und exakte Folgen, die gültig ist sowohl für jede abelsche Kategorie als auch für die Kategorie der Gruppen.

Aussage

Ist (in einer abelschen Kategorie oder der Kategorie der Gruppen) das Diagramm

kommutativ und sind alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt, so ist auch die obere Zeile exakt. Ebenso gilt: Sind alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt, so ist auch die untere Zeile exakt.

Beweis

Der Beweis erfolgt durch Diagrammjagd, zunächst unter der Annahme, dass das Diagramm die Kategorie der Gruppen betrifft. Der Einfachheit halber seien alle horizontalen Abbildungen mit h, alle vertikalen mit v bezeichnet. Das neutrale Element der Gruppen heiße jeweils e. Der Beweis zeigt die typische Eigenschaft von Diagrammjagden, dass der schriftliche Beweis zwar aus lauter trivialen Einzelschritten besteht, die zusammen jedoch verwirrend oder unmotiviert wirken - erst wenn man die Schritte am Diagramm nachverfolgt, werden die Zusammanhänge einleuchtend.

Seien zunächst alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt.

• Ist $a_1\in A_1$ mit h(a₁) = e, so h(v(a₁)) = v(h(a₁)) = v(e) = e. Hieraus folgt mit der Injektivität von $h\colon A_2\to B_2$ auch v(a₁) = 0 und mit der von $v\colon A_1\to A_2$ schließlich a₁ = e.
• Ist $a_1\in A_1$, so ist v(h(h(a₁))) = h(h(v(a₁))) = e, also h(h(a₁)) = e.
• Ist $b_1\in B_1$ mit h(b₁) = e, so h(v(b₁)) = v(h(b₁)) = e, also v(b₁) = h(a₂) für ein $a_2\in A_2$. Aus h(v(a₂)) = v(h(a₂)) = v(v(b₁)) = e folgt auch v(a₂) = e, also a₂ = v(a₁) für ein $a_1 \in A_1$. Dann ist v(h(a₁)) = h(v(a₁)) = h(a₂) = v(b₁), woraus bereits b₁ = h(a₁) folgt.
• Ist $c_1\in C_1$, so gibt es ein $b_2\in B_2$ mit h(b₂) = v(c₁). Wegen h(v(b₂)) = v(h(b₂)) = v(v(c₁)) = e gibt es ein $a_3\in A_3$ mit h(a₃) = v(b₂). Weiter gibt es ein $a_2\in A_2$ mit v(a₂) = a₃, also v(h(a₂)) = h(v(a₂)) = h(a₃) = v(b₂). Somit unterscheiden sich h(a₂) und b₂ um v(b₁) für ein geeignetes $b_1\in B_1$, d. h. es gilt $b_2 = v(b_1)\cdot h(a_2)$. Dann ist $v(c_1) = h(b_2) = h(v(b_1)\cdot h(a_2))=h(v(b_1))\cdot h(h(a_2)) = h(v(b_1)) = v(h(b_1))$ und schließlich auch c₁ = h(b₁).

Alle Punkte zusammen zeigen die Exaktheit der ersten Zeile.

Seien jetzt alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt.

• Ist $c_3\in C_3$, so c₃ = v(c₂) für ein $c_2\in C_2$ und dann c₂ = h(b₂) für ein $b_2\in B_2$, jeweils per Surjektivität von $v\colon C_2\to C_3$ bzw. $h\colon B_2\to C_2$. Dann ist h(v(b₂)) = v(h(b₂)) = c₃.
• Ist $a_3\in A_3$, so a₃ = v(a₂) für ein $a_2\in A_2$. Dann h(h(a₃)) = h(h(v(a₂))) = v(h(h(a₂))) = v(e) = e.
• Ist $b_3\in B_3$ mit h(b₃) = e und wählen wir ein $b_2\in B_2$ mit v(b₂) = b₃, so v(h(b₂)) = h(v(b₂)) = h(b₃) = e, also h(b₂) = v(c₁) für ein $c_1\in C_1$. Weiter c₁ = h(b₁) für ein $b_1\in B_1$. Dann ist h(v(b₁)) = v(h(b₁)) = v(c₁) = h(b₂), also $b_2=v(b_1)\cdot h(a_2)$ für ein $a_2\in A_2$. Schließlich ist $h(v(a_2))=v(h(a_2)) = v(v(b_1))\cdot v(h(a_2)) = v(v(b_1)\cdot h(a_2)) = v(b_2) = b_3$.
• Ist $a_3\in A_3$ mit h(a₃) = e und wählen wir $a_2\in A_2$ mit v(a₂) = a₃, so v(h(a₂)) = h(v(a₂)) = h(a₃) = e, also h(a₂) = v(b₁) für ein $b_1\in B_1$. Es ist v(h(b₁)) = h(v(b₁)) = h(h(a₂)) = e, daher bereits h(b₁) = e. Folglich b₁ = h(a₁) für ein $a_1\in A_1$. Aus h(v(a₁)) = v(h(a₁)) = v(b₁) = h(a₂) folgt bereits a₂ = v(a₁) und somit a₃ = v(a₂) = v(v(a₁)) = e.

Zusammen ergibt dies wiederum die Exaktheit der letzten Zeile.

Der zunächst für Gruppen durchgeführte Beweis gilt (ggf. in additive Schreibweise übersetzt) ebenso für abelsche Gruppen oder auch für Moduln über einem Ring. Durch den Einbettungssatz von Mitchell ist dies aber bereits ausreichend, um das Neunerlemma für alle abelschen Kategorien zu beweisen.

Siehe auch

• Fünferlemma
• Schlangenlemma