Diagrammjagd

Diagrammjagd

In der Mathematik stellt ein kommutatives Diagramm dar, dass verschiedene Verkettungen von Abbildungen das gleiche Ergebnis liefern.

Eine Abbildung f von A nach B kann durch einen Pfeil dargestellt werden.

Bild:Morphism.svg

Die Verkettung mit einer weiteren Abbildungen g von B nach C kann durch das Aneinanderhängen der Pfeile ausgedrückt werden. Eine Solche Verkettung von Pfeilen nennt sich Diagramm.

Bild:Morphism-Composition.svg

Will man dieser Verkettung einen Namen geben, so kann man einen weiteren Pfeil von A nach C einzeichnen und entsprechend beschriften.

Bild:Morphism-Composition-with-name.svg

Es wäre auch denkbar, dass h eine beliebige Abbildung von A nach C ist, wenn sie jedoch tatsächlich mit der Verkettung g \circ f übereinstimmt, sagt man, dass das Diagramm kommutiert.

Allgemein müssen, damit ein Diagramm kommutiert, für alle Wege von X nach Y die Verkettungen der zugehörigen Abbildungen übereinstimmen.

Kurz gefasst: Ein Diagramm kommutiert, „wenn es egal ist, welchen Weg man wählt“.

Beispiele

Bild:Inverse.svg

Dieses Diagramm kommutiert genau dann, wenn f^{-1} \circ f = \mathrm{id} und f \circ f^{-1} = \mathrm{id} gilt. Das sind genau die Bedingungen, dafür dass f − 1 die zu f inverse Abbildung ist.

Bild:Real numbers-Associativity.svg

μ bezeichnet in diesem Diagramm die Multiplikation, das heißt μ(x,y) = xy. Das Diagramm kommutiert somit genau dann, wenn x(yz) = (xy)z gilt, es drückt also das Assoziativgesetz der Multiplikation reeller Zahlen aus.

Diagrammjagd

Die Diagrammjagd ist ein Beweisverfahren, das besonders in der homologischen Algebra verwendet wird. Anhand eines gegebenen kommutativen Diagrammes werden formale Eigenschaften von Abbildungen (beispielsweise Injektivität, Surjektivität oder Exaktheit) benutzt. Man "jagt" hierbei Elemente der Objekte durch das Diagramm, um schließlich das gewünschte Resultat zu erzielen. Das Diagramm dient hierbei lediglich als Hilfsmittel der Visualisierung eines formal auch ohne dieses gültigen Beweises.

Beispiele für Diagrammjagden sind die üblichen Beweise des Fünferlemmas, des Schlangenlemmas, des Zick-Zack-Lemmas oder des Neunerlemmas.

Man beachte, dass ein Beweis durch Diagrammjagd unmittelbar nur gültig ist in Kategorien, deren Objekte Mengen (mit Zusatzstruktur) und deren Morphismen gewisse Abbildungen zwischen diesen Mengen sind, die wie üblich durch Hintereinanderausführung verknüpft werden. Für allgemeinere Kategorien kann man entweder den Einbettungssatz von Mitchell bemühen, der es erlaubt, jede (kleine) abelsche Kategorie als eine solche konkrete Kategorie von Moduln aufzufassen, oder aber statt Elementen Äquivalenzklassen von Morphismen mit dem entsprechenden Ziel verwenden; die Rechenregeln sind dieselben wie für Elemente.

Nutzt man Diagrammjagd zur Konstruktion von Abbildungen, so sind diese im allgemeinen "natürlich": Hat man zwei Exemplare des Diagramms, jedoch mit verschiedenen Objekten und Homomorphismen sowie einen Homomorphismus zwischen diesen Diagrammen (d.h. Homomorphismen von allen Objekten des einen Diagramms jeweils zum entsprechenden Objekt des zweiten Diagramms derart, dass alle entstehenden Maschen kommutativ sind), so werden auch die beiden konstruierten Abbildungen mit diesen Homomorphismen kommutieren.

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Kommutatives Diagramm — In der Mathematik stellt ein kommutatives Diagramm dar, dass verschiedene Verkettungen von Abbildungen das gleiche Ergebnis liefern. Eine Abbildung f von A nach B kann durch einen Pfeil dargestellt werden. Die Verkettung mit einer weiteren… …   Deutsch Wikipedia

  • Schlangenlemma — Das Schlangenlemma, eine in allen abelschen Kategorien gültige Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra, ist ein wichtiges Werkzeug zur Konstruktion der in der homologischen Algebra weit verbreiteten langen exakten… …   Deutsch Wikipedia

  • Viererlemma — Das Fünferlemma ist ein in der Mathematik, hauptsächlich in der homologischen Algebra und anderen Anwendungen abelscher Kategorien, häufig verwendetes und wichtiges Lemma über kommutative Diagramme. Das Fünferlemma ist nicht nur für abelsche… …   Deutsch Wikipedia

  • Derivierter Funktor — Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein abgeleiteter Funktor eines links oder rechtsexakten Funktors ein Maß dafür, wie weit dieser von der Exaktheit abweicht. Die Bezeichnung rührt daher, dass analog dazu die Ableitungen einer …   Deutsch Wikipedia

  • Eilenberg-Steenrod-Axiome — Der Begriff der Homologietheorie stammt aus der algebraischen Topologie und charakterisiert axiomatisch die Weise, wie beispielsweise die Singuläre Homologie oder die Bordismustheorien topologischen Räumen abelsche Gruppen zuordnen… …   Deutsch Wikipedia

  • Einbettungssatz von Mitchell — Der Einbettungssatz von Mitchell ist ein mathematisches Resultat über abelsche Kategorien. Es sagt aus, dass diese zunächst sehr abstrakt definierten Kategorien sich durchaus als konkrete Kategorien von Moduln auffassen lassen. Als Folge hiervon… …   Deutsch Wikipedia

  • Fünferlemma — Das Fünferlemma ist ein in der Mathematik, hauptsächlich in der homologischen Algebra und anderen Anwendungen abelscher Kategorien, häufig verwendetes und wichtiges Lemma über kommutative Diagramme. Das Fünferlemma ist nicht nur für abelsche… …   Deutsch Wikipedia

  • Liste mathematischer Sätze — Inhaltsverzeichnis A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A Satz von Abel Ruffini: eine allgemeine Polynomgleichung vom …   Deutsch Wikipedia

  • Abgeleiteter Funktor — Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein abgeleiteter Funktor (auch: derivierter Funktor) eines links oder rechtsexakten Funktors ein Maß dafür, wie weit dieser von der Exaktheit abweicht. Die Bezeichnung rührt daher, dass… …   Deutsch Wikipedia

  • Gruppentheorie-Glossar — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik zur Löschung vorgeschlagen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Dabei werden Artikel… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”