Partialdivision

Die Polynomdivision, auch Partialdivision genannt, ist ein algorithmisches, mathematisches Rechenverfahren. Das Verfahren verläuft analog zur üblichen und aus der Schule bekannten Division von Zahlen mit Rest, nur dass hier statt zweier Zahlen zwei Polynome durcheinander dividiert werden und als Ergebnis wieder zwei Polynome – der „Ganzteil“ und der Rest der Division – stehen.

Allgemein

Informell

Im Folgenden seien n und m natürliche Zahlen einschließlich Null ($n,m \in \N$) und der Einfachheit halber die Größen $a_i\ (0 \le i \le n)$ und $b_j\ (0 \le j \le m)$ stets ganze Zahlen, also Elemente von $\mathbb Z$. Hat man nun zwei Polynome, etwa

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots +a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \quad\text{mit}\ a_n \ne 0$

und

$q(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots +b_2 x^2 + b_1 x + b_0 \quad\text{mit}\ b_m \ne 0,$

so kann man sie unter gewissen formalen Voraussetzungen ähnlich wie ganze Zahlen durcheinander dividieren, also die Rechenaufgabe

p(x):q(x) = ?

lösen. Im Ergebnis finden sich dann zwei Polynome: Ein Polynom s(x), das dem Ganzzahlquotienten in der Zahlendivision mit Rest entspricht, und ein Polynom r(x), das sich nicht mehr weiter durch q(x) teilen lässt und das dem Rest in der Zahlendivision entspricht:

$p(x) : q(x) = s(x) + \frac{r(x)}{q(x)}$

oder in Analogie zur Schulschreibweise

$p(x) : q(x) = s(x)\ \mathrm{Rest}\ r(x).$

Das Verfahren zum Auffinden dieser Lösung, bestehend aus s(x) und r(x), ist die Polynomdivision.

Dass sich hiernach r(x) nicht weiter durch q(x) teilen lässt, ist gleichbedeutend damit, dass der Polynomgrad von r(x) kleiner ist als der von q(x), weshalb dies in der formalen Definition der Rechenvorschrift (Algorithmus) auch als Abbruchbedingung gefordert wird. In der Zahlendivision mit Rest wird stattdessen gefordert, dass der Rest kleiner als der Divisor ist. Beide Nebenbedingungen sorgen im jeweiligen Verfahren dafür, dass der Rest eindeutig bestimmt ist.

Bei der formalen Definition des Verfahrens werden einige zusätzliche Bedingungen beachtet. Das kommt daher, dass man Polynome im Allgemeinen viel weitläufiger definieren kann, als es hier zur einfacheren Erklärung geschehen ist oder man es zum Beispiel aus der Schule kennt. Die Koeffizienten eines Polynoms etwa können dann aus beliebigen Ringen stammen. Dann dürfen aber wiederum die Koeffizienten der beiden Polynome nicht aus verschiedenen Ringen stammen. Daher definiert man, dass die Polynome in einem gemeinsamen Polynomring liegen müssen. Auch reicht es nicht mehr zu fordern, dass der „höchste“ Koeffizient (Leitkoeffizient) b_m von q(x) nur ungleich Null sein müsse. Vielmehr muss man fordern, dass er zudem eine Einheit des Ringes sein muss. Oder es wird das unten beschriebene Verfahren der Pseudo-Division angewendet.

Formal

Bei der Polynomdivision sind zwei Polynome p(x) und q(x) eines Polynomringes R[x] gegeben, wobei R ein kommutativer Ring mit $1 \ne 0$ und der Leitkoeffizient von q(x) eine Einheit in R ist, und es wird die Gleichung

p(x) = s(x)q(x) + r(x),

nach den Unbekannten s(x) und r(x) gelöst, und zwar so, dass der Polynomgrad von r(x) kleiner als der von q(x) ist.

Anmerkungen

• Wegen $\operatorname{grad}\,r(x) < \operatorname{grad}\,q(x)$ sind die Polynome s(x) und r(x) eindeutig bestimmt in R[x].

• Die Polynomdivision ist im Allgemeinen keine innere Verknüpfung auf R[x], da sich als Ergebnis der Division zweier Polynome im Allgemeinen nicht ein einzelnes, sondern zwei Polynome in R[x] ergeben und sich somit keine Zuordnung der Form $R[x] \times R[x] \rightarrow R[x]$ machen lässt. Ist das jedoch im Einzelfall möglich, so wird R[x] zu einem Körper mit der Polynomdivision als Umkehrung der Polynommultiplikation.

• Ist die Polynomdivision für jedes beliebige Paar von zwei Polynomen aus R[x] möglich, so wird R[x] zu einem euklidischen Ring bzgl. der Polynomgrad-Funktion. Das ist zum Beispiel dann der Fall, wenn R ein Körper ist.

Anwendungen

• Eine Anwendung ist das Lösen von Gleichungen höheren Grades. Wenn eine Lösung x_n zum Beispiel durch Intervallschachtelung gefunden wurde, findet die Polynomdivision Anwendung, um den Grad der Gleichung um Eins zu senken.

• Eine weitere Anwendung findet die Polynomdivision bei der Kurvendiskussion mit der Bestimmung der Näherungskurven einer rationalen Funktion.

• Bei der Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen wird die Polynomdivision ebenfalls benötigt.

• Bei der Berechnung von Prüfsummen findet die Polynomdivision über dem Ring der ganzen Zahlen modulo 2 Anwendung, siehe CRC-Polynom.

Berechnung

Manueller Ablauf

Das Verfahren funktioniert für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten genau so wie die schriftliche Division ganzer Zahlen mit Rest und kann mit dem gleichen Schema gelöst werden. Hier sind die einzelnen Schritte erläutert:

• So wird die Aufgabe gelöst

$\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{4 \cdot x^5 - x^4 + 2 \cdot x^3 + x^2 - 1} {x^2 + 1}$

• Wie bei der Division ganzer Zahlen wird zuerst der höchste Anteil des Polynoms eliminiert. Dazu wird q mit 4x³ multipliziert, denn die höchste Potenz von q ist x² und es gilt $4x^5 = x^2 \cdot 4x^3$.

$\begin{matrix} ( 4x^5 & -x^4 & +2x^3 & + x^2 & -1 ) & : & ( x^2 & +1 ) & = & 4x^3 \dots \\ \underline{-4x^5} & & \underline{-4x^3} & & & & & & & \\ & -x^4 & -2x^3 & & & & & & & \end{matrix}$

• Jetzt wird immer weiter die jeweils höchste Potenz eliminiert, bis ein Rest entsteht, der nicht mehr weiter eliminiert werden kann, weil der Grad des Rests kleiner als der Grad von q ist.

$\begin{matrix} (4x^5 & -x^4 & +2x^3 & + x^2 & -1) & : & (x^2 & +1) & = & 4x^3 - x^2 -2x +2 + \frac{2x - 3}{x^2 + 1}\\ \underline{-4x^5} & & \underline{-4x^3} & & & & & & & \\ & -x^4 & -2x^3 & & & & & & & \\ & \underline{+x^4} & & \underline{+x^2} & & & & & & \\ & & -2x^3 & +2x^2 & & & & & & \\ & & \underline{+2x^3} & & \underline{+2x} & & & & & \\ & & & 2x^2 & +2x & -1 & & & & \\ & & & \underline{-2x^2} & & \underline{- 2} & & & \\ & & & & 2x & - 3 & & & & \end{matrix}$

Algorithmus

Das folgende Code-Fragment in BASIC zeigt den Kern der Berechnung:

FOR i = GradZ - GradN TO 0 STEP -1
    Quotient(i) = Zähler(i + GradN) / Nenner(GradN)
    FOR j = GradN TO 0 STEP -1
        Zähler(i + j) = Zähler(i + j) - Nenner(j) * Quotient(i)
    NEXT j
NEXT i
FOR j = GradN - 1 TO 0 STEP -1
    Rest(j) = Zähler(j)
NEXT j

Die Variable Zähler() ist ein Feld (Array), welches die Koeffizienten des Zählerpolynoms enthält, so dass Zähler(i) den Koeffizienten der Potenz xⁱ enthält. Sinngemäß ist Nenner() ein weiteres Feld, welches in gleicher Art die Koeffizienten des Nennerpolynoms enthält. Das Ergebnis ist ein Polynom, welches in Quotient() und Rest() ausgegeben wird. Die Variablen GradN und GradZ enthalten den jeweiligen Polynomgrad von Zähler und Nenner.

In einem optimierten Programm würde man die innere Schleife von 0 bis (GradN-1) laufen lassen und die Ergebnisse in Zähler() zurückschreiben, so dass die Variablen Quotient() und Rest() entfallen würden. Der Einfachheit halber wurde hier darauf verzichtet..

Pseudo-Division

Die oben beschriebene Methode zur Polynomdivision ist nur dann anwendbar, wenn der Leitkoeffizient des Divisors q(x) eine Einheit im Grundring ist. Das ist genau dann immer der Fall, wenn der Grundring gleichzeitig auch ein Körper ist. Über allgemeinen Grundringen muss das jedoch nicht immer der Fall sein. Deswegen wird eine sogenannte Pseudo-Division definiert, die über allen Integritätsringen funktioniert. Gelöst wird dabei nicht die obige Gleichung, sondern die leicht variierte Gleichung

αp(x) = s(x)q(x) + r(x),

wobei die Polynome p(x) und q(x) vorgegeben sind und eine Konstante α sowie Polynome s(x) und r(x) gesucht werden. Auch hier soll wieder der Grad von r(x) kleiner als derjenige von q(x) sein.

Das Vorgehen ist ähnlich der normalen Polynomdivision. Allerdings werden im Divisionsschritt nicht nur das Polynom q(x), sondern auch p(x) mit geeigneten Faktoren multipliziert, um zu erreichen, dass sich die Leitkoeffizienten gegenseitig herauslöschen.

Beispiel

Als Beispiel soll eine Pseudo-Division im Polynomring $\Z[x]$ über den ganzen Zahlen durchgeführt werden. Seien

$p(x) = 2x^2 + 1 \quad\hbox{und}\quad q(x) = 5x + 5.$

Eine normale Polynomdivision ist hier nicht möglich, da 5, der Leitkoeffizienten von q, in $\Z$ nicht invertierbar ist. Wir können aber p mit 5 multiplizieren. Nun kann man q mit 2x multipliziert abziehen und erhält

5p(x) − 2xq(x) = 10x² + 5 − 10x² − 10x = − 10x + 5.

Der Grad von − 10x + 5 ist dabei kleiner als derjenige von p aber noch nicht kleiner als der von q. Ziehen wir nun von diesem Zwischenergebnis − 2-mal q ab, erhalten wir

− 10x + 5 − ( − 2)q(x) = − 10x + 5 + 10x + 10 = 15.

Da 15 als konstantes Polynom einen kleineren Grad als q besitzt, sind wir hier fertig. Rückwärts einsetzen ergibt

15 = (5p(x) − 2xq(x)) − ( − 2)q = 5p(x) − (2x − 2)q(x)

oder umgeformt

5p(x) = (2x − 2)q(x) + 15.

Eine Probe bestätigt dies.

Algorithmus

Das Vorgehen soll nun noch durch den Algorithmus illustriert werden. Dieser rekursive Algorithmus hat als Argumente zwei Polynome p und q, wobei q nicht das Nullpolynom sein darf, sowie die Variable x, bezüglich der die Pseudodivision zu erfolgen hat. Das Ergebnis ist ein Tripel (c,s,r) bestehend aus Polynomen s und r sowie einer Konstanten c, so dass cp = sq + r und $\operatorname{grad}(r) < \operatorname{grad}(q)$ gilt.

   pseudoDivision(p, q, x) =
     if d < 0
     then (1, 0, p)
     else (c * a, c * t + s, r) where
       d       = grad(p, x) - grad(q, x)
       a       = lcoeff(q, x)
       b       = lcoeff(p, x)
       t       = b*xd
       (c,q,r) = pseudoDivision(a*p - t*q, q, x) 
   

Hierbei liefert $\operatorname{grad}(f, x)$ den Grad sowie $\operatorname{lcoeff}(f, x)$ den Leitkoeffizienten eines Polynomes. Man kann noch weitere Verbesserungen am Algorithmus vornehmen, indem man etwa wie im Beispiel die Multiplikation mit x unterlässt, wenn sie nicht notwendig ist.

Horner-Schema

Häufig muss eine Polynomdivision durch einen Linearfaktor (x − a) mit Leitkoeffizient 1 erfolgen. Dies kann schneller mit Horner-Schema (zur Funktionswert-Berechnung eines Polynoms) erfolgen. Interessant ist die Umkehrung: man kann mit der Polynomdivision auch Funktionswerte bestimmen. Beispiel: p(x) = x³ − 2x + 1 mit p(3) = 22

Polynomdivision liefert: $(x^3-2x+1) : (x-3) = x^2+3x+7 + \frac{22}{x-3}$

Nach Multiplikation mit (x − 3) sieht man, dass der Rest 22 der Funktionswert p(3) ist.