Verschobene Pareto-Verteilung

Die verschobene Pareto-Verteilung ist eine in der mathematischen Statistik betrachtete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die besonders zur Modellierung von Großschäden geeignet ist, insbesondere bei Industrie- und Rückversicherungen.^[1] Mathematisch handelt es sich hierbei um eine Pareto-Verteilung, deren Verteilungskurve um einen festen Parameterwert verschoben ist, woraus sich der Name dieser Verteilung ableitet.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable X genügt der verschobenen Pareto-Verteilung $\operatorname{Par^\star}(a,b)$ mit den Parametern a > 0 und b > 0, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=\begin{cases} ab(1+bx)^{-(a+1)} & x\geq 0 \\ 0 & x<0. \end{cases}$

besitzt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu:

$\operatorname{E}(X) = \frac{1}{b(a-1)}.$

Varianz

Die Varianz ist angebbar als

$\operatorname{Var} (X) = \frac{1}{b^2}\left(\frac{a}{a-2}-\frac{a^2}{(a-1)^2}\right).$

Standardabweichung

Aus Erwartungswert und Varianz ergibt sich die Standardabweichung

$\sigma(X) = \sqrt{\frac{1}{b^2}\left(\frac{a}{a-2}-\frac{a^2}{(a-1)^2}\right)}.$

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten

$\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{a(a-1)^2}{a-2}-a^2}.$

Schiefe

Für die Schiefe resultiert

$\operatorname{v}(X) = \frac{\displaystyle\frac{a}{a-3}-3\frac{a^2}{(a-2)(a-1)}+2\frac{a^3}{(a-1)^3}} {\displaystyle\left(\frac{a}{a-2}-\frac{a^2}{(a-1)^2}\right)^{\frac{3}{2}}}.$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Literatur

• Klaus Jürgen Schröter: Verfahren zur Approximation der Gesamtschadenverteilung: Systematisierung, Techniken und Vergleiche. Band 1 von Karlsruher Reihe, Beiträge zur Versicherungswissenschaft, Verlag Versicherungswirtsch., 1995, ISBN 978-3-88487-471-4, S. 35.

Einzelnachweise

1. ↑ Christian Hipp: Risikotheorie 1 (Skriptum), S 179, abgerufen am 17. Juni 2011