Gebundener Zustand

Ein gebundener Zustand oder ein Bindungszustand ist in der Physik ein Verbund aus zwei oder mehr Elementarteilchen oder Körpern, die sich wie ein einziges Objekt verhalten. In der Quantenmechanik (in der die Teilchenzahl erhalten bleibt) ist der gebundene Zustand ein Zustand im Hilbertraum, der zu zwei oder mehr Teilchen korrespondiert, dessen Wechselwirkungsenergie negativ ist. Daher können die Teilchen nicht getrennt werden, solange keine Energie aufgewendet wird. Die Energieniveaus des gebundenen Zustands sind, im Gegensatz zum kontinuierlichen Spektrum von einzelnen Teilchen, diskret. Es gibt auch instabile gebundene Zustände mit positiver Wechselwirkungsenergie. Das ist möglich, wenn eine "Energiebarriere" vorhanden ist, so dass diese für den Zerfall durchtunnelt werden muss. Dies ist der Fall für einige Radionuklide.

Im Allgemeinen kann ein stabiler gebundener Zustand in einem Potenzial existieren, wenn es eine stehende Wellenfunktion gibt. Die Energien dieser Wellenfunktionen sind negativ.

In relativistischen Quantenfeldtheorien zeigt sich ein gebundener Zustand mit n Teilchen der Massen m₁, ..., m_n als ein Pol in der S-Matrix mit einer Ruhemasse die kleiner als m₁+...+m_n ist. Ein instabiler gebundener Zustand (siehe Resonanz) stellt sich als Pol mit komplexer Schwerpunktmasse dar.

Beispiele

Ein Überblick über die verschiedenen Familien von Elementarteilchen und zusammengesetzten Teilchen und der Theorien, welche ihre Wechselwirkungen beschreiben

• Ein Proton und ein Elektron können sich unabhängig voneinander bewegen. Ihre Schwerpunktmasse ist positiv. So ein Paar kann als ionisiertes Atom aufgefasst werden. Wenn das Elektron um das Proton kreist, wird die Energie negativ. Ein gebundener Zustand entsteht - das Wasserstoffatom. Nur der niederenergetischste Zustand, der Grundzustand ist stabil. Alle anderen angeregten Zustände sind instabil und zerfallen in den Grundzustand mit weniger Energie. Dabei werden Photonen emittiert.
• Ein Atomkern ist ein gebundener Zustand von Protonen und Neutron (Nukleonen).
• Ein Positronium-Atom ist ein instabiler gebundener Zustand eines Elektrons und eines Positrons. Es zerfällt in zwei Photonen.
• Das Proton ist ein Bindungszustand von drei Quarks (zwei up und ein down); jeweils ein Quark hat die quantenchromodynamische Farbe rot, grün und blau. Anders als beim Wasserstoff können die einzelnen Quarks nie getrennt werden (Siehe Confinement).

Mathematische Struktur der Quantenmechanik

Sei H ein komplex separabler Hilbertraum, $U = \lbrace U(t) \mid t \in \mathbb{R} \rbrace$ sei eine ein-parametrige Gruppe mit unitären Operatoren auf H und ρ = ρ(t₀) ein statistischer Operator auf H. Sei A eine Observable auf a H und μ(A,ρ) die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung von A in Bezug auf ρ auf der Borel σ-Algebra auf $\mathbb{R}$. Die Entwicklung von ρ induziert durch U wird gebunden in Bezug auf A genannt, wenn $\lim_{R \rightarrow \infty} \sum_{t \geq t_0} \mu(A,\rho(t))(\mathbb{R}_{> R}) = 0$ , wobei $\mathbb{R}_{>R} = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid x > R \rbrace$.

Beispiel: Sei $H = L^2(\mathbb{R})$ und A die Orts-Observable. Sei $\rho = \rho(0) \in H$ mit einem kompaktem Träger und $[-1,1] \subseteq \mathrm{Supp}(\rho)$.

• Wenn die Zustandsentwicklung ρ "das Wellenpaket konstant nach rechts bewegt", z.B. wenn $[t-1,t+1] \in \mathrm{Supp}(\rho(t))$ für alle $t \geq 0$ , dann ρ in Bezug auf den Ort kein gebundener Zustand.

• Wenn ρ sich mit der Zeit nicht ändert, z.B. ρ(t) = ρ für alle $t \geq 0$, dann ist ρ in Bezug auf den Ort ein gebundener Zustand.

• Allgemeiner: Wenn die Zeitentwicklung von ρ "ρ nur innerhalb eines begrenzten Bereiches bewegt", dann ist ρ ein gebundener Zustand bezogen auf den Ort.