Liste von Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die nachfolgende Tabelle liefert einen Überblick über die Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Beschreibung	Merkhilfe *)
Das Quadrat einer standardnormalverteilten Zufallsvariable ist Chi-Quadrat-verteilt mit Parameter 1.	$N_{0,1}^2 = C_1$
Die Summe unabhängiger Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariabler ist wieder Chi-Quadrat-verteilt.	Ck + Cl = Ck + l
Die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariabler ist wieder normalverteilt.	$N_{\mu_1,\sigma_1^2} + N_{\mu_2,\sigma_2^2} = N_{\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2}$
Die Summe unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsvariabler ist wieder poissonverteilt.	Pα + Pβ = Pα + β
Die Summe unabhängiger binomialverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter p ist wieder binomialverteilt.	Bm,p + Bn,p = Bm + n,p
Die Summe unabhängiger negativbinomialverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter p ist wieder negativbinomialverteilt.	NBm,p + NBn,p = NBm + n,p
Die Summe unabhängiger Erlang-verteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter α ist wieder erlangverteilt.	Eα,m + Eα,n = Eα,m + n
Die Summe unabhängiger gammaverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter b ist wieder gammaverteilt.	Gb,p1 + Gb,p2 = Gb,(p1 + p2)
Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Exponentialverteilung.	Eα,1 = Eα
Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Chi-Quadrat Verteilung.	$E_{\frac{1}{2},n} = C_{2n}$
Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Gammaverteilung. (Für ganzzahligen zweiten Parameter stimmt die Gammaverteilung mit der Erlangverteilung überein.)	Eα,n = Gα,n
Zusammenhang zwischen Weibull Verteilung und Exponentialverteilung.	$W_{0,\sigma,1} = E_\frac{1}{\sigma}$
Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable, X standardnormalverteilt und Y Ck-verteilt, dann ist $\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{k}}}$ Tk-verteilt.	$\frac{N_{0,1}}{\sqrt{\frac{C_k}{k}}} = T_k$
Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable, X Cm-verteilt und Y Cn-verteilt, dann ist $\frac{\frac{X}{m}}{\frac{Y}{n}}$ Fm,n-verteilt.	$\frac{\frac{C_m}{m}}{\frac{C_n}{n}} = F_{m,n}$
Der Logarithmus einer logarithmischnormalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt.	$\ln (LN_{\mu,\sigma^2}) = N_{\mu,\sigma^2}$
Ist Z negativbinomialverteilt mit Parameter 1 und p, so ist Z-1 geometrisch verteilt mit Parameter p.	NB1,p − 1 = Gp

*) In der Merkhilfe steht zum Beispiel C_k nicht für die Chi-Quadrat Verteilung, sondern für eine Zufallsvariable in Chi-Quadrat Verteilung. Der Unterschied liegt darin, dass etwa die Verteilung der Summe von Zufallsvariablen (sie wird als Faltung der Verteilungen bezeichnet) üblicherweise mit zum Beispiel C_k * C_l (C_k,C_l Verteilungen) angeschrieben wird anstatt wie hier mit C_k + C_l (C_k,C_l Zufallsvariable). Der Vorteil der Schreibweise C_k * C_l (C_k,C_l Verteilungen) liegt darin, dass sie schon andeutet, welche Operation auf die Verteilungsfunktionen anzuwenden ist, um die Verteilung der Summe zu erhalten. Der Vorteil der Schreibweise C_k + C_l (C_k,C_l Zufallsvariable) liegt darin, dass sie angibt, welche Operation ursprünglich auf die Zufallsvariable gewirkt hat.

Das Zeichen „=“ steht für „hat gleiche Verteilung wie“.

Diejenigen Zufallsvariablen, die auf der linken Seite des Gleichheitszeichens stehen, seien stets vollständig unabhängig voneinander.

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Aus den oben angeführten Regeln folgt zum Beispiel (in „Merkhilfe“-Notation): $N_{0,1}^2 + N_{0,1}^2 = C_1 + C_1 = C_2 = E_{\frac{1}{2},1} = E_{\frac{1}{2}}$. Man beachte, dass dabei die erste Zufallsvariable $N_{0,1}\,$ von der zweiten Zufallsvariablen $N_{0,1}\,$ unabhängig sein muss. Wenn man stattdessen beide Male dieselbe Zufallsvariable verwendet, wenn man also $2 \cdot N_{0,1}^2$ berechnet, ist das Ergebnis ein anderes!

Siehe auch

• Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta