Erlang-Verteilung

Dichte der Erlangverteilung, g = 1 = λ/w

Die Erlang-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wurde von Agner Krarup Erlang für die statistische Modellierung der Intervall-Längen zwischen Telefonanrufen entwickelt.

Die Erlang-Verteilung wird in der Warteschlangentheorie verwendet, um die Verteilung der Zeitspanne zwischen Ereignissen eines Poisson-Prozesses, beispielsweise der Ankunft von Kunden, zu erfassen, sowie in der Qualitätssicherung zur Beschreibung von Lebensdauern. In Callcentern wird diese Verteilung für die Personaleinsatzplanung genutzt, um die Anzahl der benötigten Agents auf Grund des erwarteten Anrufvolumens im Zeitintervall zu bestimmen.

Die Erlang-Verteilungsdichte liefert die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach "Verstreichen" des Orts- oder Zeitabstands x das n-te Ereignis eintritt, wenn man g Ereignisse pro Einheitsintervall erwartet (siehe Herleitung). Sie beschreibt die Verkettung von n Ereignissen, wobei der Abstand zwischen den Ereignissen einer Exponential-Verteilung folgt.^[1]

Definition

Die Erlang-Verteilung $\operatorname{Erl}(g,n)$ mit den Parametern g (einer reellen Zahl) und $n\geq 1$ (einer natürlichen Zahl) ist eine spezielle Gammaverteilung, die durch die Dichtefunktion

$f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{g^n x^{n-1}}{(n-1)!}\, \mathrm{e}^{-g x} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$

festgelegt wird, und die sich von der allgemeinen Gammaverteilung durch die Beschränkung auf natürliche Zahlen im zweiten Parameter unterscheidet.

Die Wahrscheinlichkeit, dass $X \leq x$ ist, ist durch die Verteilungsfunktion

$F(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{g^n}{(n-1)!}\int_0^x t^{n-1}\mathrm{e}^{-g t}\,\mathrm{d}t=1-\frac{\gamma(n, g x)}{(n-1)!}=1-\mathrm{e}^{-g x} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{(g x)^i}{i!} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$

gegeben, wobei γ die unvollständige Gammafunktion bezeichnet.

Herleitung

Es sei w eine Orts- oder Zeitvariable und g die „kleine konstante“ Eintretenshäufigkeit von Ereignissen im Einheitsintervall von w, dann ist die Verteilung der Größe des Abstandes w bis zum Eintreten des k-ten Ereignisses gesucht. Wie ist die Größe der möglichen w-Bereiche für k-1 bereits eingetretene Ereignisse verteilt?

Diese Verteilung ergibt sich aus der Poisson-Verteilung: die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von k-1 Ereignissen innerhalb eines Bereichs w ist

$Poi(g \cdot w,k-1) = \frac{(g \cdot w)^{k-1}}{(k-1)!}\mathrm{e}^{-g \cdot w}.$

Betrachtet man nun diesen Ausdruck nicht mehr bei festem Bereich w als Funktion für die Wahrscheinlichkeit von k-1 Ereignissen, sondern bei gegebenem k als Funktion für die Wahrscheinlichkeit der Bereichsgröße w, so entsteht nach der noch notwendigen Normierung (Summe über alle Wahrscheinlichkeiten gleich eins)

$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{(g \cdot w)^{k-1}}{(k-1)!}\mathrm{e}^{-g \cdot w}\operatorname{d}w =\frac{1}{g}$

die Wahrscheinlichkeitsdichte

$\frac{(g \cdot w)^{k-1}}{(k-1)!} \cdot g \cdot \mathrm{e}^{-g \cdot w}$

der Erlang-Verteilung.

Eigenschaften

Da eine erlangverteilte Zufallsvariable die Summe von n unabhängig und identisch verteilten exponentialverteilten Zufallsvariablen ist, ergeben sich die folgenden Eigenschaften.

Erwartungswert

Die Erlang-Verteilung besitzt den Erwartungswert

$\operatorname{E}(X)= \operatorname{E} \sum_{k=1}^n X_k = \sum_{k=1}^n \operatorname{E} X_k =\frac{n}{g}$.

Wobei die X_k unanbhängig und exponentialverteilt mit Parameter g sind.

Varianz

Analog ergibt sich die Varianz zu

$\operatorname{Var}(X)= \operatorname{Var} \sum_{k=1}^n X_k = \sum_{k=1}^n \operatorname{Var} X_k =\frac{n}{g^2}$.

Charakteristische Funktion

Aus der charakteristischen Funktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen erhält man die einer erlangverteilten Zufallsvariable:

$\varphi_X(t) = \left( \frac{g}{g-it} \right)^n$

Momenterzeugende Funktion

Analog ergibt sich für die Momenterzeugende Funktion

$M_X(t) = \left( \frac{g}{g-t} \right)^n$

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Exponentialverteilung

• Die Erlang-Verteilung $\operatorname{Erl}(g,n)$ ist eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, denn sie geht für n = 1 in diese über $\operatorname{Erl}(g,1)=\operatorname{Exp}(g)$ .
• Es seien n viele, alle mit dem gleichen Parameter g exponentialverteilte Zufallsvariablen $Y_i\ (i = 1, \dots , n)$, die stochastisch unabhängig sind, gegeben. Dann ist die Zufallsvariable $X = Y_1 + Y_2 + \dots + Y_n$ Erlang-verteilt mit den Parametern n und g $(n\in\Bbb N, g \geq 0)$.

Beziehung zur Poisson-Verteilung

• Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung $\operatorname{Poi}(\lambda,n)$ bestimmt, die zufällige Zeit bis zum n-ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall n = 1 geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über, mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.
• Die Erlang-Verteilung ist die zur Poisson-Verteilung konjugierte Verteilung.
• Für die Verteilungsfunktionen der Erlang-Verteilung und der Poisson-Verteilung gilt

F_Erlang(n + 1) + F_Poisson(n) = 1.

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Eine Erlang-Verteilung kann als Faltung von n gleichmäßig stetig verteilten Funktionen X(0,1) erzeugt werden

$\operatorname{Erl}(g, n) \sim -\frac{1}{g}\ln{\left(\prod_{i=1}^{n}x_{i}\right)}$.

Weblinks

• Erlangverteilungen: Erklärung und Darstellung von Zusammenhängen zu anderen Verteilungen

Einzelnachweise

1. ↑ Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics, Universitetsforlaget, Bergen Oslo Tromsö S. 98.