- Rationalisierung (Bruchrechnung)
-
Als Rationalisierung (auch: rationalisieren oder rational machen) bezeichnet man in der elementaren Algebra eine Technik, um eine irrationale Zahl (zum Beispiel eine Wurzel oder eine komplexe Zahl) im Zähler oder im Nenner eines Bruches zu eliminieren, d.h. durch einen gleichwertigen Ausdruck mit ausschließlich rationalen Zahlen zu ersetzen.
Die zu eliminierende irrationale Zahl selbst liegt meist als Monom oder Binom vor. Bei der grundsätzlichen Vorgehensweise erweitert man den Bruch mit einem passend gewählten Faktor, d.h. man multipliziert sowohl den Zähler wie auch den Nenner des Bruchs mit diesem Faktor, wodurch sich der Wert des Bruchs nicht ändert.
Inhaltsverzeichnis
Rechenbeispiele
In den folgenden Beispielen steht die Variable r für eine beliebige reelle Zahl.
Rationalisierung eines monomischen Nenners
Als Beispiel sei der Bruch
mit einer allgemeinen Wurzel im Nenner und mit n > m gegeben. Erweitert man mit
, so erhält man
Rationalisierung eines binomischen Nenners
Generell wird hierbei der Bruch mit der Konjugation des binomischen Nenners erweitert. Die Multiplikation eines Binoms mit dem konjugiertem Binom ist auch als dritte binomische Formel bekannt.
Beispiel mit binomischer Wurzel
Gegeben sei der Bruch
Die Erweiterung mit dem konjugierten Binom ergibt
Anwendung auf komplexe Zahlen
Auch eine komplexe Zahl im Nenner eines Bruches kann vermieden werden. Nehmen wir als Beispiel den Kehrwert einer komplexen Zahl z = a + ib. Man erhält
Durch Erweiterung dieses Bruchs mit der komplex konjugierten Zahl von z, d.h. mit der Zahl
erhält man
Rationalisierung eines Zählers
Obwohl das Rationalisieren des Nenners eine weitaus größere Rolle spielt, ist das Rationalisieren des Zählers oft hilfreich in der Analysis. Insbesondere bei der Bestimmung von Grenzwerten lassen sich dadurch oft unbestimmte Ausdrücke berechnen.
Als Beispiel sei der Ausdruck
gegeben. Einsetzen von x = 0 liefert in diesem Fall ist den unbestimmten Ausdruck „
“. Durch Rationalisieren des Zählers mit der dritten binomischen Formel erhält man analog zu oben:
Anwendungen
- Manche mathematische Konventionen sehen vor, einen Bruch möglichst ohne Wurzeln im Nenner darzustellen.
- Die Methode kann sinnvoll sein, um die numerische Berechnung solcher Brüche zu vereinfachen.
- In vielen Fällen ist ein Weiterrechnen ohne Rationalisierung des Nenners oder gar Zählers nicht möglich.
Literatur
- George Chrystal: Introduction to algebra: For the use of secondary schools and technical colleges. 4. Auflage. Elibron, 2002, ISBN 1402159072.
- B. F. Caviness, R. Fateman: Simplification of Radical Expressions. In: Proceedings of 1976 AMC Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. (Online-Kopie).
Wikimedia Foundation.