Jacobson-Radikal

In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings R ein Ideal von R, das Elemente von R enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson benannt, der es als erster untersucht hat.

Jacobson-Radikal von R-Moduln

Im folgenden sei R ein Ring mit 1 und M ein R-Linksmodul.

Der Durchschnitt aller maximalen R-Untermoduln von M wird als (Jacobson-)Radikal Rad_R(M) (oder kurz Rad(M)) bezeichnet. Hat M keine maximalen Untermoduln, so setzt man Rad(M) = M.

Ist M endlich erzeugt, so gilt: $Rad(M) = \{x \in M | x \ \mathrm{ ist \ \ddot uberfl \ddot ussig \ in} \ M \}$. Dabei heißt ein Element x von M überflüssig, wenn für jeden Untermodul $N \subset M$ gilt: Aus M = N + Rx folgt bereits M = N.

Eigenschaften

• Ist M endlich erzeugt und $N \subset M$ ein Untermodul von M mit M = N + Rad(M), dann ist bereits M = N. Diese Eigenschaft wird auch als Lemma von Nakayama bezeichnet.
• Ist M endlich erzeugt und $M \not = 0$, dann ist $Rad(M) \not = M$. (Dies ist der Spezialfall N = 0 der vorigen Aussage.)
• Rad(M)=0 gilt genau dann, wenn M isomorph zu einem Untermodul eines direkten Produktes einfacher R-Moduln ist.
• M ist genau dann endlich erzeugt und halbeinfach, wenn M artinsch und Rad(M)=0 ist.

Jacobson-Radikal von Ringen

Im folgenden sei R ein Ring mit 1.

Das Jacobson-Radikal des Ringes R wird als das Jacobson-Radikal des R-Linksmoduls R definiert. Es wird als J(R) notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert:

• als Durchschnitt aller maximalen Linksideale / Rechtsideale
• als Durchschnitt aller Annullatoren einfacher Links-R-Moduln / Rechts-R-Moduln
• $\{x\in R\mid \forall y\in R\colon 1-xy\in R^\times\}$
• $\{x\in R\mid \forall y,z\in R\colon 1-zxy\in R^\times\}$
• $\{x\in R\mid \forall z \in R\colon 1-zx \ \mathrm{ist \ linksinvertierbar} \}$

Eigenschaften

• Der Ring R ist genau dann halbeinfach, wenn er linksartinsch und J(R)=0 ist.
• Für jeden linksartinschen Ring R ist der Ring R / J(R) halbeinfach.
• Ist R linksartinsch, dann gilt für jeden R-Linksmodul M: J(R)M=Rad(M).
• J(R) ist das kleinste Ideal I von R mit der Eigenschaft, dass R/I halbeinfach ist.
• Ist N ein Nillinksideal von R, dann gilt: $N \subseteq J(R)$.
• Ist R linksartinsch, dann ist J(R) ein nilpotentes Ideal.
• Ist R linksartinsch, dann ist das Jacobson-Radikal gleich dem Primradikal.
• Mit dem Zornschen Lemma folgt für jeden Ring $R\neq\{0\}$ die Existenz maximaler Ideale, für $R\neq\{0\}$ gilt also $J(R)\neq R$.

Beispiele

• Das Jacobson-Radikal eines Schiefkörpers ist {0}; ebenso das Jacobson-Radikal von $\mathbb{Z}$.
• Das Jacobson-Radikal von $\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ ist $6\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$.
• Das Jacobson-Radikal des Rings aller oberen $n\times n$-Dreiecksmatrizen über einem Körper K enthält diejenigen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge verschwinden.
• Das Jacobson-Radikal jedes lokalen Rings ist sein maximales Ideal, besteht also gerade aus seinen Nicht-Einheiten.
• Das Jacobson-Radikal einer kommutativen Banachalgebra ist genau der Kern der Gelfand-Transformation.

Literatur

• K. A. Zhevlakov: Jacobson radical. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.