Schraube (Mathematik)

Schraube (Mathematik)
Dieser Artikel behandelt die Helix als spiralförmige Struktur, für weitere Bedeutungen siehe Helix (Begriffsklärung).
Helix (grün) und hyperbolische Spirale (schwarz)

Die Helix (Plural Helices, auch Schraube, Schraubenlinie, zylindrische Spirale oder Wendel) ist eine Kurve, die sich mit konstanter Steigung um den Mantel eines Zylinders windet. Je nach Windungsrichtung bezeichnet man die Helix als rechtsgängig, wenn sie sich im Uhrzeigersinn windet (in der Richtung gesehen, in der sich die Helix am Zylinder entlangwindet), oder linksgängig bei einer Windung gegen den Uhrzeigersinn. Die Helix ist eine chirale Kurve, weil sie selbst und ihr Spiegelbild nicht durch Drehen und Verschieben zur Deckung gebracht werden können (z. B. sind Rechts- und Linksgewinde verschieden).

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Beschreibung

Die vektorielle Beschreibung einer Schraubenlinie in kartesischen Koordinaten lautet


\vec{s}(t) = \begin{pmatrix}r \cdot \cos t \\ r \cdot \sin t \\ \frac{h}{2\pi} \cdot t + c\end{pmatrix}
  • Dabei ist h die Ganghöhe, also diejenige Strecke, um die sich die Schraube bei einer vollen Umdrehung nach oben (in Richtung der Zylinderachse; z-Richtung) windet, r der Radius und c die Verschiebung der Schraube in z-Richtung.
  • k = h / (2rπ) ist die Steigung der Helix, die Form der z-Koordinate entspricht der Geradengleichung y = k \cdot x + d und stellt dar, dass die Helix zur Gerade wird, wenn man den Zylindermantel mit der Helix in die Ebene abwickelt.
  • Man nennt α = arctan(k) den Gangwinkel der Helix.

Ganghöhe und Gangwinkel sind zwei in den technischen Anwendungen der Helix grundlegende Kenngrößen.

Mehrgängige Schrauben

Setzt man zwei kongruente Helizes um eine halbe Ganghöhe versetzt zusammen (c2 = c1 + h / 2), ergibt sich eine zweigängige Schraube. Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die zweite Helix um eine halbe Umdrehung versetzt (t2 = t1 + π). Die beiden Helizes haben dann konstanten Abstand und berühren sich nie, die entstehende Kurve zerfällt also in zwei Äste. Analoge Bildung mit mehreren Helizes ergibt entsprechend mehrgängige Schraubenlinien.

Auch diese Definitionen spielen in der Technik eine wichtige Rolle.

Helix und Spirale

Bei der Zentralprojektion einer Helix auf eine ebene Fläche entsteht eine hyperbolische Spirale. Das entspricht auch dem Blick in eine Schraube entlang der Achse (siehe Galerie unten, rechtes Bild Wendeltreppe), weil das Auge diesem Projektionstyp folgt (Perspektive).

Beispiele für Helix-Formen in Natur und Technik

Aus zwei Gründen kommen Helices in Natur und Technik oft vor:

  • Die Platzersparnis durch die „Aufwicklung“ der Geraden auf einen Zylinder
  • Die zur Schraube analoge Keilwirkung

Schraubenförmige Strukturen

Das bekannteste schraubig aufgebaute Biopolymer ist die DNA, die wegen der zwei umeinanderlaufenden, komplementären DNA-Einzelstränge auch als Doppelhelix bezeichnet wird. Ferner sind Teilabschnitte vieler Proteine, vor allem auch solcher, die in Biomembranen integriert sind (integrale Proteine), helikal aufgebaut. Diesen Strukturtyp der Sekundärstruktur bezeichnet man als α-Helix. Auch das aus α-D-Glucose aufgebaute Polysaccharid Amylose, das neben Amylopektin in Stärke enthalten ist, besitzt die Form einer Helix.

In der Technik ist eine Wendel etwa ein oft freitragendes schraubenförmiges Draht-Bauteil (z. B. Glühwendel, Wendelantenne, Drahtwiderstand, Wendelrohrpatrone). Eine weitere typische Helix ist die Schraubenfeder, die die Federkräfte einer langen Feder auf geringen Raum unterbringt. Auch die Wendeltreppe nutzt die Platzersparnis, weil die äußere Abmessung von der überwundenen Höhe unabhängig ist. Gleiches gilt für die wendelförmigen Rampen etwa in Tiefgaragen und Parkhäusern. Der Draht einer Glühbirne ist eine Doppelhelix, also eine Helix, um die eine weitere Helix verläuft (Aufbau siehe linkes Galeriebild). Andere Beispiele sind der äußere Rand der Ohrmuschel oder die Peptidketten aus Kollagen.

Schraube und Keilwirkung

Die Keilwirkung beruht darauf, dass der Steigungswinkel eine Bewegung entlang der langen Kathete in eine Normalbewegung entlang der kurzen Kathete „übersetzt“. Aufgrund des Hebelgesetzes ist dann die entstehende Normalkraft um das Verhältnis der Katheten größer als die eingesetzte Kraft. Je kleiner der Steigungswinkel (je flacher der Keil), desto stärker die Wirkung.

Das gilt für die Helix analog. Daher kann ein relativ kleines Drehmoment um die Mittelachse (kleine Radialkraft) in eine große Kraft entlang der Achse umgesetzt werden. Auf diesem Prinzip beruht das Gewinde einer Schraube mit Mutter ebenso wie das der archimedischen Schraube und des Schneckenförderers. Die Funktionsweise des Propellers oder der Gewindespindel im Maschinenbau beruht auf Umwandlung von Umdrehung in Vorschub. Die Justierschraube nutzt im Umkehrschluss die Reduzierung des Weges, was eine feine Einstellung möglich macht. Auch Korkenzieher mit und ohne „Seele“ sind wendelförmig.

Seilerei

Ein weitere Anwendung ist die Seilerei: Während die Bruchlast für einen einzelnen Faden oder ein paralleles Faserbündel nur vom Querschnitt abhängig ist, und daher auch Dicke und Schwere stark zunehmen, sind bei einem Seil die einzelnen Fasern oder Litzen verdrillt („geschlagen“). Bei Belastung wandelt sich die Zugkraft in eine zur Faser normale Kraft, die – weil die Steigung der Helizes nahe bei 90° liegt und die Keilwirkung sich umkehrt – deutlich geringer ist. Zusätzlich wird sie als Druckspannung auf die Nachbarfasern und/oder die Seele übertragen. Dabei heben sich die Kräfte zwischen den einzelnen Fasern oder Litzen auf, die Seele wird extrem komprimiert (daher werden dafür elastische Materialien verwendet) und nimmt die Energie auf.

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