Fastprimzahl

Eine n-Fastprimzahl oder auch Primzahl n-ter Ordnung ist eine natürliche Zahl, deren Primfaktorzerlegung aus genau n Primzahlen besteht, wobei mehrfache Primteiler entsprechend oft gezählt werden. Insbesondere sind n-Fastprimzahlen für $n\geq 2$ keine Primzahlen. Primzahlen zweiter Ordnung nennt man auch Semiprimzahlen. Der Norweger Viggo Brun führte den Begriff um 1915 zur Verallgemeinerung von Primzahlen ein, um einen neuen Ansatz für ungelöste Primzahlprobleme zu finden.^[1]

Dieses Konzept kann problemlos auf die ganzen Zahlen und beliebige ZPE-Ringe verallgemeinert werden.

Definition

Sei $z \in \Bbb N \setminus \{0\}$ und $z = \prod_{i=1}^k{p_i}^{e_i}$ mit Primzahlen ${p_1}, \ldots, {p_k}$. Dann heißt z Primzahl n-ter Ordnung, wobei $n=\sum_{i=1}^{k}{e_i}$ gilt. Die Zahlenfolge für ein festes n wird auch mit P_n bezeichnet.^[2] Die Wohldefiniertheit folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für alle natürlichen Zahlen.

Eigenschaften

• Jede Primzahl ist eine Primzahl der Ordnung 1, jede zusammengesetzte Zahl ist eine Primzahl der Ordnung 2 oder höher. Primzahlen der Ordnung 3 aus 3 verschiedenen Primfaktoren nennt man auch sphenische Zahlen.
• Die Vereinigung der P_n bilden eine Zerlegung der natürlichen Zahlen.
• Jede Primzahl n-ter Ordnung lässt sich als Produkt von Primzahlen der Ordnungen k₁,...,k_m schreiben mit $\sum_{i=1}^{m}{k_i}=n$. Für k₁,...,k_m > 0 gibt es S_(n,m) solcher möglichen Zerlegungen, wobei S_(n,m) die Stirling-Zahlen zweiter Art bezeichnet. Insbesondere ist eine Primzahl zweiter Ordnung das Produkt zweier Primzahlen, was vor allem in der Kryptographie Anwendung findet.

Null und eins

Für die 0 gibt es keine mögliche Primfaktorzerlegung, sie ist keine Primzahl n-ter Ordnung.

Der 1 wird das leere Produkt als Primfaktorzerlegung zugewiesen. Entsprechend kann sie definitionskonform als Primzahl 0-ter Ordnung bezeichnet werden.

Beispiele

• $91 = 7 \cdot 13$ ist eine Primzahl zweiter Ordnung.
• $324 = 2^2 \cdot 3^4$ ist eine Primzahl sechster Ordnung.
• $172 = 2^2 \cdot 43$ ist eine Primzahl dritter Ordnung.

Anwendungen

Die beiden folgenden Sätze wurden in der 1970er Jahren bewiesen:

• Jede genügend große, natürliche, gerade Zahl lässt sich als die Summe einer Primzahl erster und einer Primzahl zweiter Ordnung darstellen. Diese Aussage ist vergleichbar mit der Goldbachschen Vermutung.

• Es gibt unendlich viele Primzahlen, die einen Abstand von 2 zu einer 2-Fastprimzahl haben. Dies ist vergleichbar mit der Vermutung über Primzahlzwillinge.

Literatur

• Władysław Narkiewicz: The Development of Prime Number Theory. From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer, Berlin [u.a.] 2000, ISBN 3-540-66289-8.
• Hans Riesel: Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Birkhäuser, Boston/Basel/Stuttgart 1985, ISBN 3-7643-3291-3.
• David M. Bressoud: Factorization and Primality Testing. Springer, New York [u.a.] 1989, ISBN 0-387-97040-1.
• Paulo Ribenboim: The little book of bigger primes. 2. Ausgabe. Springer, New York [u.a.] 2004, ISBN 0-387-20169-6
  • Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Auf den neuesten Stand gebracht von Wilfrid Keller. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2006, ISBN 978-3-540-34283-0

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Almost prime. In: MathWorld. (englisch)

Fußnoten

1. ↑ Wolfgang Blum: Goldbach und die Zwillinge. In: Spektrum der Wissenschaft. Dezember 2008, S. 97 (reproduziert in Spiegel Online: Primzahlen: Wer lüftet das Geheimnis der Unteilbarkeit? 25. Dezember 2008)
2. ↑ Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin/ Heidelberg/New York 2006, ISBN 978-3-540-34283-0, S. 219