Federpendel

Bewegung eines Federpendels

Ein Federpendel oder Federschwinger ist ein harmonischer Oszillator, der aus einer elastischen Feder und einem daran befestigten Massestück besteht.

Nach dem Auslenken des Federschwingers, das heißt dem Ändern der Position des Massestücks relativ zur Ruhelage, beginnt eine harmonische Schwingung. Die Schwerkraft beeinflusst die Position der Ruhelage, wirkt sich aber nicht auf die Periodendauer der Schwingung aus. Oszillatoren, die auf dem Verdrehen einer Feder beruhen, sind Torsionspendel und gehören nicht zu den Federschwingern.

Funktionsweise

Nach dem Hookeschen Gesetz ist die elastische, das heißt entgegen der Auslenkungsrichtung wirkende Kraft, direkt proportional zur Auslenkung einer idealen Feder. Diese Kraft hängt auch von der Stärke der Feder ab, die durch die Federkonstante angegeben wird. Eine ausgelenkte Feder hat deshalb das Bestreben, in ihre Ruhelage zurückzukehren und wird zur Ruhelage beschleunigt.

Die Trägheit des Massestücks wirkt der Beschleunigung mit einer Kraft entgegen, deren Betrag nach dem Reaktionsprinzip gleich der elastischen Federkraft ist. Durchläuft der Federschwinger die Ruhelage, so verursacht die Trägheit des Massestücks, dass sich der Federschwinger über die Ruhelage hinaus bewegt.

Die elastische Kraft wird dann wegen ihrer Proportionalität zur Auslenkung größer, bis die Trägheit überwunden wurde. Dieser Vorgang wiederholt sich periodisch und führt zu einer harmonischen Schwingung, bei der sich der Abstand des Massestücks zur Ruhelage periodisch ändert.

Herleitung der Schwingungsgleichungen

Kräfte an einem Federschwinger. Die elastische Kraft F_E wirkt zur Ruhelage (gestrichelte Linie), die Trägheitskraft F_T wirkt entgegen der Beschleunigung. Die Geschwindigkeit v ist zur Ruhelage gerichtet.

Die zur Ruhelage gerichtete, elastische Kraft ist nach dem Hookeschen Gesetz proportional zur Auslenkung x der Feder. Die Auslenkung entspricht dem Abstand des Massestücks zur Ruhelage des Schwingers.

$F_\mathrm{E} = D \cdot x$

Der Proportionalitätsfaktor D ist die Federkonstante oder Direktionskonstante, in der Literatur wird sie auch mit k bezeichnet. Die elastische Kraft verursacht eine Beschleunigung des Massestücks zur Ruhelage. Der Beschleunigung entgegen wirkt die Trägheitskraft F_T. Die Beschleunigung a kann auch als zweite Ableitung der Auslenkung nach der Zeit ausgedrückt werden.

$F_\mathrm{T} = m \cdot a = m \cdot \ddot x$

Nach dem Reaktionsprinzip stimmen die Beträge der Federkraft und der Trägheitskraft überein, nur ihre Richtung ist entgegengesetzt.

F_T = − F_E

$m \cdot \ddot x = - D \cdot x$

Nach dem Umformen der Gleichung erhält man schließlich

$m \cdot \ddot x + D \cdot x = 0$ oder $\ddot x + \omega_0^2 \cdot x = 0$

Diese Differentialgleichung beweist, dass es sich beim idealen Federschwinger um einen harmonischen Schwinger handelt.

Die Differentialgleichung kann mit dem Exponentialansatz nach der Auslenkung aufgelöst werden. Es gelten folgende Funktionen für die Auslenkung, die Geschwindigkeit v und der Beschleunigung eines Federschwingers:

$x(t) = \hat x \cdot \sin(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)$

$v(t) = \hat v \cdot \cos(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)$

$a(t) = - \hat a \cdot \sin(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)$

Der Winkel φ₀ gibt die Auslenkung zu Beginn der Schwingung an. Die Geschwindigkeit erhält man durch Ableiten der Auslenkungsfunktion, die Beschleunigung ist die zweite Ableitung der Auslenkungsfunktion nach der Zeit. Es ist deshalb

$\hat v = \hat x \cdot \omega_0$

$\hat a = \hat x \cdot \omega_0^2$

Für die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ω₀ gilt

$\omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}}$

Die Eigenkreisfrequenz ist allgemein $\omega_0 = \tfrac{2 \cdot \pi}{T}$, das Umstellen nach der Periodendauer T ergibt

$T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$

Die Periodendauer gibt die benötigte Zeit für eine gesamte Schwingung an.

Lösen der Schwingungsgleichung mit dem Exponentialansatz

Die Auslenkung sei eine Exponentialfunktion der Form $x(t) = c \cdot e^{\lambda \cdot t}$. Die zweite Ableitung der Funktion ist laut Kettenregel

$\ddot x(t) = c \cdot \lambda^2 \cdot e^{\lambda \cdot t}$

Das Einsetzen von x in die Schwingungsgleichung liefert

$c \cdot \lambda^2 \cdot e^{\lambda \cdot t} + \omega_0^2 \cdot c \cdot e^{\lambda \cdot t} = c \cdot e^{\lambda \cdot t} \cdot (\lambda^2 + \omega_0^2) = 0$

Wenn die charakteristische Gleichung $\lambda^2 + \omega_0^2$ gleich Null ist, wird die Schwingungsgleichung erfüllt.

$\lambda^2 + \omega_0^2 = 0$

$\lambda_{1/2} = \pm \sqrt{-\omega_0^2} = \pm \omega_0 \cdot \mathrm i$

Für λ gibt es zwei komplexe Lösungen, es können daher zwei gültige Schwingungsgleichungen formuliert werden mit

$x_1 = c_1 \cdot e^{\omega_0 \cdot \mathrm i \cdot t}$

und

$x_2 = c_2 \cdot e^{-\omega_0 \cdot \mathrm i \cdot t}$

Wenn die beiden Schwingungsgleichungen für x₁ und x₂ addiert werden, dann kann die Auslenkung x der Federschwingers als x = x₁ + x₂ definiert werden.

$\underline {x(t) = c_1 \cdot e^{\omega_0 \cdot \mathrm i \cdot t} + c_2 \cdot e^{-\omega_0 \cdot \mathrm i \cdot t}}$

Die Konstanten c₁ und c₂ müssen bestimmt werden. Zu Beginn der Schwingung sind t = 0 und x = 0. Nach dem Viertel einer Periodendauer T hat der Oszillator seine maximale Auslenkung $\hat x$ erreicht.

$x(0) = c_1 + c_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad c_1 = - c_2$

$x\left(\frac{T}{4}\right) = x\left(\frac{2\pi}{4 \cdot \omega_0}\right) = c_1 \cdot e^{\frac{\pi}{2} \mathrm i} + c_2 \cdot e^{-\frac{\pi}{2} \mathrm i} = \hat x$

Die Umwandlung der Exponentialform in die trigonometrische Form für komplexe Zahlen ergibt

$\hat x = c_1 \cdot \left[\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \mathrm i \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right] + c_2 \cdot \left[\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + \mathrm i \cdot \sin \left(- \frac{\pi}{2}\right)\right]$

$\hat x = c_1 \cdot \mathrm i - c_2 \cdot \mathrm i$

Einsetzen von c₁ = − c₂ liefert

$- 2 \cdot c_2 \cdot \mathrm i = \hat x$

Man erhält $c_1 = \frac{\hat x}{2 \mathrm i}$ und $c_2 = - \frac{\hat x}{2 \mathrm i}$. Die Konstanten können nun in die trigonometrische Darstellung der Auslenkungsfunktion eingesetzt werden, die dann unter Beachtung der Quadrantenbeziehungen sin( − h) = − sin(h) und cos(k) = cos( − k) umgeformt wird.

$x(t) = \frac{\hat x}{2 \mathrm i} \cdot [\cos (\omega_0 \cdot t) + \mathrm i \cdot \sin (\omega_0 \cdot t)] - \frac{\hat x}{2 \mathrm i} \cdot [\cos (- \omega_0 \cdot t) + \mathrm i \cdot \sin (- \omega_0 \cdot t)] = \frac{\hat x}{2 \mathrm i} \cdot 2 \cdot \mathrm i \cdot \mathrm \sin(\omega_0 \cdot t)$

Die Schwingungsgleichung für den idealen Federschwinger ohne Auslenkung zu Beginn der Schwingung (φ₀ = 0) ist

$\underline{ \underline{x(t) = \hat x \cdot \sin(\omega_0 \cdot t)}}$

Energie eines Federpendels

Die kinetische Energie eines Federpendels mit der Masse m lässt sich berechnen mit $E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.

Nach dem Einsetzen der Geschwindigkeit v erhält man

$E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m \cdot {\hat x}^2 \cdot \omega_0^2 \cdot \cos^2(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)$.

Für die Eigenkreisfrequenz gilt $\omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}} \Rightarrow D = m \cdot \omega_0^2$. Deshalb kann die kinetische Energie auch ausgedrückt werden mit:

$E_\mathrm{kin} = \frac{D}{2} {\hat x}^2 \cdot \cos^2(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)$

Die potentielle Energie ist allgemein

$E_\mathrm{pot} = \int F_\mathrm{F} \, \mathrm d x$ für $F \parallel s$

Da die Federkraft $F_\mathrm{F} = D \cdot x$ ist, gilt

$E_\mathrm{pot} = D \cdot \int x \, \mathrm d x$

$E_\mathrm{pot} = \frac{D}{2} x^2$

Die gesamte Federenergie E_F setzt sich aus der potentiellen und der kinetischen Energie zusammen.

E_F = E_pot + E_kin

$E_\mathrm{F} = \frac{D}{2} {\hat x}^2 \cdot \sin^2(\omega_0 \cdot t + \varphi_0) + \frac{D}{2} {\hat x}^2 \cdot \cos^2(\omega_0 \cdot t + \varphi_0)$

Aufgrund des Trigonometrischen Pythagoras gilt sin²x + cos²x = 1, die Gesamtenergie vereinfacht sich zu:

$\underline{\underline {E_{\mathrm F} = {D \over 2} \cdot {\hat x}^2}}$

Massebehaftete Feder

Die Bewegungsgleichungen für ideale Federschwinger gelten nur für masselose Federn. Wenn die elastische Feder als massebehaftet angenommen wird und die Masse homogen verteilt ist, ergibt sich die Periodendauer der Schwingung zu

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m + \frac{1}{3} m_F}{D}}$

Die Parameter m und m_F entsprechen der Masse des Pendelkörpers und der Masse der Feder.

Die Gesamtlänge der Feder sei l, s sei die Entfernung zwischen der Aufhängung des Federschwingers und einem beliebigen Punkt auf der Feder. Ein Abschnitt der Feder mit der Länge ds hat dann die Masse $\mathrm d m_F = m_F \cdot \frac{\mathrm d s}{l}$. Die Geschwindigkeit des Federabschnitts ist $v_F = \dot x \frac{s}{l}$, denn sie steigt linear mit zunehmender Entfernung von der Aufhängung. Daraus folgt für die kinetische Energie eines Federabschnitts

$\mathrm d E_\mathrm{kin,F} = \frac{1}{2} \cdot \mathrm d m_F \cdot v_F^2$

$\mathrm d E_\mathrm{kin,F} = \frac{1}{2} \cdot m_F \cdot \frac{\mathrm d s}{l} \cdot \dot x^2 \cdot \frac{\mathrm s^2}{l^2} = \frac{1}{2} \cdot m_F \cdot \dot x^2 \cdot \frac{1}{l^3} \cdot s^2 \mathrm d s$

Die gesamte kinetische Energie der Feder erhält man durch Integrieren:

$E_\mathrm{kin,F} = \int \mathrm d E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot m_F \cdot \dot x^2 \cdot \frac{1}{l^3} \cdot \int_0^l s^2 \mathrm d s$

$E_\mathrm{kin,F} = \frac{1}{2} \cdot m_F \cdot \dot x^2 \cdot \frac{1}{3}$

Die kinetische Energie eines massebehafteten Federschwingers unter Berücksichtigung des Pendelkörpers ist

$E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot \dot x^2 \cdot \left(m + \frac{1}{3} m_F\right)$

Man erkennt, dass sich ein Drittel der Federmasse so verhält, als wäre sie ein Teil des Pendelkörpers. Daraus folgt die oben beschriebene Periodendauer für eine massebehaftete Feder.

Literatur

• Dieter Meschede: Gerthsen Physik. Auflage 23, Springer, Berlin Heidelberg New York 2006, ISBN 3-540-02622-3.
• István Szabó: Einführung in die technische Mechanik. Auflage 8, Springer, 2002, ISBN 3-540-44248-0.

Siehe auch

• Mathematisches Pendel (Fadenpendel)
• Magnetisches Pendel
• Unruh (Uhr)
• Spannenergie

Weblinks

• Ausführliche Herleitung der Schwingungsgleichungen, auch für gekoppelte und gedämpfte Systeme (PDF-Datei; 230 kB)