- Grassmann Identität
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Das Kreuzprodukt
(auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) zweier Vektoren
und
im dreidimensionalen reellen Vektorraum ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet. Die Länge dieses Vektors ist die Flächengröße des Parallelogramms mit den Seiten
und
.
Das Kreuzprodukt tritt in der Physik beispielsweise bei der Lorentzkraft oder dem Drehmoment auf.
Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben. Es gilt
Dabei sind
und
die Längen der Vektoren
und
und
ist der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels θ. Der Vektor
ist der zu
und
senkrechte Einheitsvektor, der sie zu einem Rechtssystem ergänzt. Das heißt,
und
verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand (Rechte-Hand-Regel).
Inhaltsverzeichnis
Komponentenweise Berechnung
Für den euklidischen Raum
mit der Standardbasis gilt für das Kreuzprodukt:
Ein Zahlenbeispiel:
Das Kreuzprodukt ist symbolisch die Determinante der
-Matrix, in deren ersten Spalte die Symbole
,
und
für die kanonische Basis stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors
und die dritte von denen des Vektors
gebildet. Diese Determinante berechnet man nach der Regel von Sarrus:
Mit dem Levi-Civita-Symbol
schreiben sich Komponenten als
Bilinearität, Antisymmetrie
Das Kreuzprodukt ist bilinear, für alle Zahlen
β und γ und alle Vektoren
und
gilt
Da die Fläche jedes Parallelogramms verschwindet, das ein Vektor mit sich aufspannt,
ist das Kreuzprodukt antisymmetrisch,
Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Das Kreuzprodukt ist antikommutativ oder schiefsymmetrisch.
Doppeltes Kreuzprodukt: Graßmann-Identität
Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ. Die Graßmann-Identität (nach Hermann Graßmann), auch Graßmannscher Entwicklungssatz genannt, für das wiederholte Kreuzprodukt von drei Vektoren, deren Komponenten kommutieren, lautet
Sie heißt auch BAC-CAB-Formel, wobei der Name das Ergebnis ausspricht.
Handelt es sich bei den Komponenten der Vektoren um Operatoren oder Matrizen, dann gilt die Formel, falls die Reihenfolge der Operatoren unerheblich ist oder mit der Reihenfolge auf der linken Seite übereinstimmt.
Doppeltes Kreuzprodukt mit Nabla-Operatoren
Ist
der Nabla-Operator, so lässt sich der Graßmann'sche Entwicklungssatz nicht einfach übertragen, da Nabla stets nach rechts auf
wirkt (Notation im Folgenden:
differenziert nur die Komponenten des Vektors
und
ist der Vektorgradient, also die Jacobi-Matrix von
):
Daher gilt, falls
und
der Nabla-Operator und
ein Vektorfeld ist, in der Form:
Für die Rotation des Kreuzprodukts zweier Vektorfelder
und
gilt hingegen:
Die zusätzlichen Terme entstehen, weil die Ableitung eines Produktes nach der Produktregel zwei Terme ergibt.
Jacobi-Identität
Wenn die Komponenten der Vektoren kommutieren, gilt die Jacobi-Identität, dass die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte verschwindet,
Lagrange-Identität
.
Für das Quadrat der Norm erhält man hieraus
also ist der Betrag des Kreuzproduktes
Zusammenhang mit Lie-Algebra
Für einen Körper
bildet der
-Vektorraum
zusammen mit dem Kreuzprodukt eine Lie-Algebra.
Kreuzprodukt im
Das Kreuzprodukt aus zwei gewöhnlichen (polaren)
Vektoren liefert einen sogenannten axialen Vektor. Streng genommen handelt es sich um einen Tensor zweiter Stufe mit drei unabhängigen Komponenten:
Mit dieser Definition lässt sich der Tensor auch für Vektorräume n > 3 definieren. Im
hat das Kreuzprodukt beispielsweise 6 unabhängige Elemente. Sie lassen sich nicht mehr als
-Vektor darstellen[1]
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ http://folk.uio.no/patricg/teaching/a112/levi-civita/ Levi-Civita symbol and cross product vector/tensor
Weblinks
- Java-Applet der Universität von Syracuse zum Vektor- oder Kreuzprodukt
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