Hopf-Faserung

Die Hopf-Faserung (nach Heinz Hopf) ist eine bestimmte Abbildung im mathematischen Teilgebiet der Topologie. Es handelt sich um eine Abbildung der 3-Sphäre, die man sich als den dreidimensionalen Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt vorstellen kann, in die 2-Sphäre, also eine Kugeloberfläche:

$\eta\colon S^3\to S^2.$

Beschreibung der Abbildung

Man erhält sie durch folgendes: Zuerst wird die S³ in den C²eingebettet. Die Tupel $(z_1,z_2)\mapsto(z_1/z_2)$ werden auf ihren Quotienten abgebildet. Danach bildet man den Punkt mit der Inversen Stereografische Projektion bzgl des Nordpoles auf die S² ab. Um die Abbildung konkret anzugeben, gibt es viele verschiedene Möglichkeiten.

Mit reellen Zahlen

Die Abbildung

$\R^4\to\R^3,\quad(x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto(y_1,y_2,y_3)$

mit

y₁ = 2(x₁x₃ + x₂x₄)

y₂ = 2(x₂x₃ − x₁x₄)

$y_3=x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2$

bildet die 3-Sphäre $\{x\in\R^4\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1\}$ auf die 2-Sphäre $\{y\in\R^3\mid y_1^2+y_2^2+y_3^2=1\}$ ab. Diese Einschränkung ist die Hopf-Abbildung.

Mit komplexen Zahlen

Die 3-Sphäre werde als die Teilmenge

$\{(z,w)\in\mathbb C^2\mid |z|^2+|w|^2=1\}$

des zweidimensionalen komplexen Raums aufgefasst, die 2-Sphäre als riemannsche Zahlenkugel. Dann ist die Hopf-Abbildung durch

$(z,w)\mapsto\frac zw$

gegeben. Fasst man die riemannsche Zahlenkugel als projektive Gerade $\mathbb CP^1$ auf, so kann man die Abbildung unter Verwendung homogener Koordinaten auch als

$(z,w)\mapsto[z:w]$

schreiben.

Mit Lie-Gruppen

Die 3-Sphäre ist diffeomorph zur Lie-Gruppe Spin(3), die als Überlagerung der Drehgruppe SO(3) auf der 2-Sphäre operiert.

Eigenschaften

• Die Hopf-Abbildung ist ein Faserbündel mit Faser S¹ (sogar ein S¹-Hauptfaserbündel).
• Die Hopf-Abbildung erzeugt die Homotopiegruppe $\pi_3(S^2)\cong\mathbb Z$.

Verallgemeinerungen

Die oben angegebene Beschreibung mithilfe komplexer Zahlen kann auch stattdessen mit Quaternionen oder mit Cayley-Zahlen durchgeführt werden; man erhält dann Faserungen

$S^3\to S^7\to S^4$ bzw. $S^7\to S^{15}\to S^8$,

die ebenfalls als Hopf-Faserungen bezeichnet werden.

Geschichte

Heinz Hopf gab diese Abbildung 1931 in seiner Arbeit Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche an und zeigte, dass sie nicht nullhomotop ist (genauer: dass ihre Hopf-Invariante gleich 1 ist).

Literatur

• Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (PDF)