Alternativkörper

Der Begriff Alternativkörper ist eine Verallgemeinerung des algebraischen Körperbegriffs der Mathematik. Bei der Definition des Alternativkörpers verzichtet man auf das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für die Multiplikation. Stattdessen wird gefordert, dass die Multiplikation die Eigenschaft der Alternativität hat.

Jeder Schiefkörper ist ein Alternativkörper, jeder Alternativkörper ist zugleich ein Links- und ein Rechtsquasikörper. Endliche Alternativkörper sind stets Körper.^[1] (→ Siehe dazu auch: Moufangebene).

Eine wichtige Anwendung finden die Alternativkörper in der synthetischen Geometrie. Ruth Moufang bewies 1933, dass jede Moufangebene isomorph zu einer projektiven Koordinatenebene $\mathbb P^2 (A)$ über einem Alternativkörper A ist.^[2]

Definitionen

Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen + und $\cdot$ ist ein Alternativkörper^[3], wenn gilt:

• (M, + ) ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element als 0 bezeichnet wird;
• $(M \setminus \lbrace 0\rbrace,\cdot)$ ist eine Quasigruppe mit neutralem Element, das als 1 bezeichnet wird;
• Für die Verknüpfung $\cdot$ gilt die Alternativität:

$(A_1) \quad a\cdot (a\cdot b)=(a\cdot a)\cdot b$ und

$(A_2) \quad a\cdot (b\cdot b)= (a\cdot b)\cdot b$,

• es gelten beide Distributivgesetze: $a \cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c$ und $(a+b) \cdot c = a\cdot c + b\cdot c$.

Kern eines Alternativkörpers

→ Hauptartikel: Affine Translationsebene

Jeder Alternativkörper ist ein Links- und ein Rechtsquasikörper. Analog zu Quasikörpern kann man für jeden Alternativkörper A seinen Kern definieren:

$S=\operatorname{Kern}(A)=\lbrace x\in A: \forall a,b\in A\quad x(ab)=(xa)b \rbrace$.

Dieser Kern S ist durch die Definition eindeutig bestimmt und erfüllt mit den Verknüpfungen aus dem Alternativkörper die Axiome eines Schiefkörpers. Der Alternativkörper A ist genau dann ein Schiefkörper, wenn er mit seinem Kern übereinstimmt. Beachte, dass der Kern im allgemeinen kein (im Sinn der Inklusion) maximaler Schiefkörper im Alternativkörper sein muss.

Eigenschaften

Aus der Alternativität folgt weiterhin das Flexibilitätsgesetz

$(F)\!\,\quad a \cdot (b \cdot a) = (a \cdot b) \cdot a$

Die beiden Alternativitäten (A₁) und (A₂) und das Flexibilitätsgesetz (F) sind „zyklische“ Gesetze: Gelten zwei dieser Gesetze, dann folgt daraus das dritte.

In einem Alternativkörper gelten ferner die Moufang-Identitäten für die Multiplikation:

$[a \cdot (b \cdot a)] \cdot c = a \cdot [b \cdot (a \cdot c)]$

und

$(a \cdot b) \cdot (c \cdot a) = a \cdot [(b \cdot c) \cdot a].$

Ruth Moufang zeigte 1934, dass drei beliebige unterschiedliche Elemente a, b, c aus einem Alternativkörper A, die der Relation $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ genügen, einen Schiefkörper erzeugen. Dies ist eine Verschärfung eines Satzes von Artin. Der Satz von Artin besagt, dass zwei beliebige unterschiedliche Elemente einen Schiefkörper erzeugen. Die so erzeugten Schiefkörper sind genau dann Teilmengen des Kerns von A, wenn die erzeugenden Elemente in diesem Kern liegen.

Jeder Alternativkörper ist sowohl ein Links- als auch ein Rechtsmodul über jedem in seinem Kern enthaltenen Schiefkörper, also insbesondere über dem Kern selbst.

Beispiele

• Das bekannteste Beispiel eines „echten“ Alternativkörpers, der also kein Schiefkörper ist, sind die (reellen) Oktonionen.
• Jeder Körper und allgemeiner jeder Schiefkörper ist ein Beispiel für einen Alternativkörper.

Literatur

• Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern. Mathematische Annalen, Band 110 (1935), Seiten 416-430.
• Ruth Moufang: Alternativkörper und der Satz vom vollständigen Vierseit, Abh.Math. Sem. Hamburg 9 (1933)
• Max August Zorn: Theorie der alternativen Ringe. Abh. Math. Sem. Hamburg 8 (1930), 123–147.

Einzelnachweise

1. ↑ Zorn (1930)
2. ↑ Moufang (1933)
3. ↑ Alternative fields by Hauke Klein HTML (engl.)