Moufangebene

Moufangebenen sind projektive Ebenen, in denen der kleine projektive Satz von Desargues allgemeingültig ist. Sie sind nach der deutschen Mathematikerin Ruth Moufang benannt, die diese Ebenen in den 1930er Jahren untersuchte.^[1] Sie konnte zeigen, dass jede Moufangebene isomorph zu einer projektiven Ebene über einem Alternativkörper^[2] ist. Alle endlichen Moufangebenen sind pappussche Ebenen, alle desargueschen Ebenen sind Moufangebenen.

Moufangebenen bilden die Klasse VII in der Klassifikation der projektiven Ebenen nach Hanfried Lenz.^[3]

Ist A ein Alternativkörper, dann kann A³ zu einer projektiven Ebene gemacht werden, indem man wie bei einem projektiven Raum über einem Körper die von einem Element $(a_0, a_1, a_2) \in A^3\setminus\lbrace (0,0,0)\rbrace$ erzeugten eindimensionalen Unterräume^[4] als Punkte und die zweidimensionalen Unterräume als Geraden verwendet. Man spricht dann auch von der projektiven Ebene über A und notiert sie als $\mathbb P^2(A)$^[5]. Diese projektiven Koordinatenebenen sind stets Moufangebenen. Genau dann, wenn die Multiplikation im Alternativkörper A das Assoziativgesetz erfüllt, ist A ein Schiefkörper und die Ebene $\mathbb P^2(A)$ eine desarguessche projektive Ebene. Man beachte aber, dass zu einem Alternativkörper A, der kein Schiefkörper ist, keiner der formal darstellbaren Koordinatenräume $\mathbb P^n(A)=A^{n+1}\;$ für n > 2 eine projektive Geometrie bildet, vergleiche dazu Axiom von Veblen-Young!

Jede Moufangebene ist isomorph zu einer projektiven Koordinatenebene $\mathbb P^2(A)$ über einem Alternativkörper A, der durch die Ebene bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist.^[6]

Mit einem Satz von Artin und Zorn, der besagt, dass jeder endliche Alternativkörper ein Körper ist,^[7] folgt daraus, dass jede endliche Moufangebene tatsächlich eine projektive Ebene $\mathbb P^2(\mathbb F_q)$ über einem endlichen Körper ist.

Äquivalente Beschreibungen für den Begriff „Moufangebene“: Eine projektive Ebene ist genau dann eine Moufangebene, wenn

• jede durch Schlitzen aus ihr entstehende affine Ebene eine affine Translationsebene ist,
• alle Ternärkörper, die man der Ebene als Koordinatenbereich durch Wahl eines projektiven Koordinatensystems, also durch Wahl eines vollständigen Vierecks als Punktbasis zuordnen kann, isomorph sind,
• einer der Koordinatenternärkörper ein Alternativkörper ist,
• für jede Gerade der Ebene die Gruppe der Kollineationen, die die Gerade punktweise festlassen, transitiv auf der Menge der Punkte, die nicht auf der Geraden liegen, operiert,
• die Gruppe der Kollineationen transitiv auf der Menge der vollständigen Vierecke (aufgefasst als geordnete Menge der vier Ecken) operiert.

Bei einer Moufangebene sind die genannten affinen Translationsebenen alle zueinander isomorh, deren Koordinatenternärkörper sind stets Quasikörper und sogar Alternativkörper, die ebenfalls zueinander isomorph sind.

Die reellen Oktonionen $\mathbb O$ sind ein Beispiel für einen Alternativkörper, der kein Schiefkörper ist, die projektive Ebene $\mathbb P^2 (\mathbb O )$ das wichtigste Beispiel für eine nichtdesarguesche Moufangebene.

Literatur

• Ruth Moufang: Alternativkörper und der Satz vom vollständigen Vierseit, Abh.Math. Sem. Hamburg 9 (1933)
• Marshall Hall: The Theory of Groups. Macmillan, 1959
• Hanfried Lenz: Kleiner desarguesscher Satz und Dualität in projektiven Ebenen. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung Ver. 57 (1954), 20–31.
• Günter Pickert Projektive Ebenen. 2. Auflage, Berlin-Heidelberg-New York 1975
• Charles Weibel: Survey of Non-Desarguesian Planes. Notices of the American Mathematical Society, Volume 54 November 2007, S. 1294- 1303. Volltext (PDF)
• Max August Zorn: Theorie der alternativen Ringe. Abh. Math. Sem. Hamburg 8 (1930), 123–147.

Einzelnachweise

1. ↑ Moufang (1933)
2. ↑ Alternative fields by Hauke Klein HTML (engl.)
3. ↑ Lenz (1954) und Lenz types by Hauke Klein: HTML (engl.)
4. ↑ Genauer gesagt ist hier ein Unterraum als ein Untermodul des A-Linksmoduls A³ zu verstehen.
5. ↑ Weibel (2007) S. 1296
6. ↑ Hall (1959) 20.5.3
7. ↑ Zorn (1930)