Hintereinanderausführung

Der Begriff Komposition bedeutet in der Mathematik meist die Hintereinanderschaltung von Funktionen, auch als Verkettung oder Hintereinanderausführung bezeichnet.

Die Darstellung einer Funktion als Verkettung zweier oder mehrerer, im Allgemeinen einfacherer Funktionen ist zum Beispiel in der Differential- und Integralrechnung wichtig, wenn es darum geht Ableitungen mit der Kettenregel oder Integrale mit der Substitutionsregel zu berechnen.

Der Begriff Komposition kann von Funktionen auf Relationen und partielle Funktionen verallgemeinert werden.

Definition

Seien A,B,C beliebige Mengen und $f\colon\, A \to B$ sowie $g\colon\, B \to C$ Funktionen, so heißt die Funktion

$g\circ f\colon\, A \to C,\, a \mapsto (g\circ f)(x) := g(f(x)),$

die Komposition von f und g oder von g nach f. Man sagt dann auch g komponiert mit f. Es ist dabei zu beachten, dass die zuerst angewandte Abbildung rechts steht, im Gegensatz zum Diagramm

$A \,\,\stackrel f\to\,\, B \,\,\stackrel g\to\,\, C.$

Abweichende Schreibweisen

Eine alternative Schreibweise für $g\circ f$ ist gf, wobei man dies nicht mit einem anderen Produkt der Funktionen verwechseln darf.

Es gibt auch wenige Autoren, die g nach f als $f\circ g$ schreiben, die Funktionen also von links nach rechts auswerten. Welche Reihenfolge gewählt wurde, lässt sich oft an einem Beispiel des Autors nachvollziehen. Daneben existiert auch die Notation, bei der das Funktionssymbol rechts vom Argument geschrieben wird, also xf (oder auch x^f ) anstelle von f(x). Dann ist die Auswertung von links nach rechts naheliegend, also x^fg = (x^f)^g (hauptsächlich im Kontext von (rechten) Gruppenoperationen verbreitet).

Beispiele

Man betrachte die folgenden Funktionen, für die als Definitions- und Wertemenge die Menge R der reellen Zahlen oder eine Teilmenge davon angenommen wird.

• Ist f durch f(x) := x + 1 und g(x) := x² gegeben, so ergibt die Verkettung von f und g die Funktion h, wobei

$h(x):=\left(g \circ f\right)(x)=\left(x+1\right)^2$

• Umgekehrt lässt sich die durch h(x) := 1/(x² + 1) definierte Funktion darstellen als h = g o f, wobei

$f(x) := x^2 + 1\$

$g(x) := 1/x\ ;x \neq 0$

Eigenschaften

Assoziativität

Die Komposition von Funktionen ist assoziativ, das heißt für Funktionen f, g und h gilt:

$\left(h\circ g\right)\circ f = h\circ\left(g\circ f\right)$

da

$((h \circ g) \circ f) (x) = (h \circ g) (f(x)) = h(g(f(x)))$

$(h \circ (g \circ f)) (x) = h ((g \circ f)(x)) = h(g(f(x)))$

Kommutativität

Die Komposition von Funktionen ist im Allgemeinen nicht kommutativ; beispielsweise gilt für die Funktionen f(x):=x² und g(x):=x+1:

$(f \circ g)(x) = f(x+1) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(g \circ f)(x) = g(x^2) = x^2 + 1$

Identische Abbildungen

Die identische Abbildung verhält sich bei der Komposition neutral, für eine Funktion f : A → B gilt also:

$f \circ \mathrm{id}_A = f = \mathrm{id}_B \circ f$,

wobei id_A und id_B die jeweiligen Identitäten auf den Mengen A und B darstellen.

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

Wichtige Eigenschaften, die eine Funktion f besitzen kann, sind

• Injektivität (f bildet höchstens ein Element aus A auf ein gegebenes Element aus B ab, d.h. verschiedene Elemente aus A dürfen nicht auf das gleiche Element aus B abgebildet werden),
• Surjektivität (f bildet mindestens ein Element aus A auf ein gegebenes Element aus B ab, d.h. alle Elemente aus B sind in der Zielmenge enthalten),
• Bijektivität (f bildet genau ein Element aus A auf ein gegebenes Element aus B ab, d.h. es gilt Injektivität und Surjektivität).

Jede dieser Eigenschaften überträgt sich auf die Verkettung, es gilt also:

• Die Komposition injektiver Funktionen ist injektiv.
• Die Komposition surjektiver Funktionen ist surjektiv.
• Die Komposition bijektiver Funktionen ist bijektiv.

Umgekehrt gilt: Ist eine Verkettung g o f

• injektiv, so ist f injektiv.
• surjektiv, so ist g surjektiv.
• bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv.

Potenzen (Iteration)

Ist f : A → A eine Abbildung einer Menge in sich selbst, dann kann man diese Funktion mit sich selbst verketten und erhält f ² := f o f. Wie bei assoziativen Operationen üblich kann nun induktiv für jede natürliche Zahl n die n-te Potenz f ⁿ erklärt werden durch:

$f^{1} := f\$

$f^{n+1} := f \circ f^n$

Außerdem setzt man

$f^{0} := \mathrm{id}_{A}\$

f ⁿ wird auch als n-te Iterierte von f bezeichnet; das (auch mehrfache) Verketten einer Funktion mit sich selbst nennt man Iteration.

Falls auf A eine Multiplikation definiert ist, darf die Iteration nicht mit der Multiplikation verwechselt werden: f ²(x) kann in diesem Fall auch den Ausdruck f(x)·f(x) bezeichnen.

Ist f sogar bijektiv, dann existiert die Umkehrfunktion f ^-1, und die negativen Potenzen f ^-n sind definiert durch:

$f^{-n} := (f^{- 1})^n\$

Beispiele

Sei A die Menge der positiven reellen Zahlen und f gegeben durch f(x) := x². Dann gilt:

$f^3(x) = x^8\$

$f^{-2}(x) = \sqrt[4]{x}\$

Algebraische Strukturen

Wird die Menge F(A) aller Funktionen aus einer gegebenen Menge A in sich selbst betrachtet, so definiert die Komposition eine innere zweistellige Verknüpfung auf F(A), bezüglich derer F(A) (mit der identischen Abbildung als neutrales Element) ein Monoid darstellt.

Werden nur bijektive Funktionen herangezogen, ist das Monoid sogar eine Gruppe mit der jeweiligen Umkehrfunktion als inverses Element. Falls die Menge A endlich ist, handelt es sich um eine symmetrische Gruppe.

Strukturverträgliche Abbildungen

In der Mathematik betrachtet man oft Mengen mit einer zusätzlichen Struktur sowie Abbildungen, die mit dieser Struktur verträglich sind, zum Beispiel

• lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen
• stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen
• Gruppenhomomorphismen zwischen Gruppen

Wünschenswert ist nun, dass die Strukturverträglichkeit bei der Komposition erhalten bleibt, und in der Tat gilt in den Beispielen

• die Komposition linearer Abbildungen ist linear
• die Komposition stetiger Abbildungen ist stetig
• die Komposition von Gruppenhomomorphismen ist ein Gruppenhomomorphismus

Diese Überlegungen führen zur Kategorientheorie, bei der man sogar davon abstrahiert, dass es sich um Abbildungen handelt, und nur noch die Assoziativität sowie die Eigenschaft der Identitäten für die Komposition fordert.

Komposition von Relationen

Zu einer Funktion $f: X \rightarrow Y$ ist der Funktionsgraph $\{(x, f(x)) \mid x \in X\}$ eine Relation $R_f \subseteq X \times Y$. Bezüglich der Komposition von Funktionen gilt dann (unter Verwendung der Infixnotation):

$x \ R_{g \circ f} \ z \Leftrightarrow \exists y : x \ R_f \ y \ R_g \ z$.

Diese Beobachtung führt zur Definition der Komposition von zweistelligen Relationen $R \subseteq X \times Y$ und $S \subseteq Y \times Z$: Die Relation $R \circ S \subseteq X \times Z$ ist gegeben durch

$x \ R \circ S \ z :\Leftrightarrow \exists y : x \ R \ y \ S \ z$.

Bei der Komposition von Relationen wird also immer die Reihenfolge von links nach rechts eingehalten.

Beispiel

X sei die Menge der Punkte, Y die Menge der Geraden und Z die Menge der Ebenen im dreidimensionalen Raum. Die Relationen R und S seien festgelegt durch:

x R y ⇔ der Punkt x liegt auf der Geraden y

y S z ⇔ die Gerade y ist in der Ebene z enthalten

Für die Komposition T := R o S gilt dann:

x T z ⇔ der Punkt x liegt in der Ebene z

Eigenschaften

• Die Komposition von Relationen ist assoziativ.
• Bezeichnet id_X die identische Relation auf X, also die Menge aller Paare (x, x), dann gilt für jede Relation R ⊆ X × Y:

  $\mathrm{id}_X \circ R = R = R \circ \mathrm{id}_X$

• Ist R ⊆ X² eine Relation auf einer Menge X, dann sind also auch alle Potenzen Rⁿ (mit n ≥ 0) definiert. Diese Potenzen werden zum Beispiel bei der Definition der reflexiv-transitiven Hülle verwendet. Eine Relation R mit $R \circ R \subseteq R$ heißt transitiv.

Abweichende Notation in der Physik

In der Physik und anderen Naturwissenschaften ist es üblich, die Verkettung einer Funktion mit der "äußeren Funktion" zu identifizieren: $f= f \circ g$. Aufgrund dieser Notation entstehen in physikalischer Literatur teilweise Gleichungen, die auf den ersten Blick nach gängigen mathematischen Konventionen falsch oder sinnlos sind, etwa

$V(\vec x) = V(|\vec x|)$,

wobei $\vec x = (x_1, x_2, x_3)$ der Ortsvektor des Punktes $\vec x$ ist und $|\vec x| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$ seine euklidische Länge. Diese Gleichung ist, mathematisch gesehen, im Prinzip falsch, da nach der linken Seite der Gleichung V eine Funktion $D \subset \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R$ darstellt (setzt man doch in V ein Element $\vec x \in \mathbb R^3$ ein), auf der rechten Seite V offenbar als Definitionbereich eine Teilmenge der reellen Zahlen aufweist, also $V: I \subset \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, da man in V die skalare Größe $|\vec x|$ einsetzt. Gemeint ist mit dieser intuitiven Gleichung jedoch, dass (für einen betrachteten Spezialfall) die physikalische Größe V (in diesem Fall ein Potenzial), das i.A. eine Funktion des Ortes ist, mit einer Funktion beschrieben werden kann, die nur vom Abstand des Ortes $\vec x$ vom Nullpunkt abhängt. Eine mathematisch "saubere" Formulierung dieser Aussage würde etwa lauten:

$\exists \bar V: I \subset \mathbb R \rightarrow \mathbb R: V(\vec x) = \bar V(|\vec x|)$

V ist also eine Verkettung aus der skalaren Funktion $\bar V$ und der euklidischen Norm $d: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R, d(\vec x) = |\vec x|$:

$V = \bar V \circ d$.

Wir erhalten die obige, intuive Schreibweise dieser Gleichung, indem wir zunächst die Verkettung $\bar V \circ d$ - symbolisch - mit der äußeren Funktion $\bar V$ identifizieren und diese wiederum mit dem Potenzial V. Vorteile der Notation sind intuitiv verständliche Schreibweisen und eine geringe Anzahl von verschiedenen Symbolen. Ein typisches Beispiel einer Funktion, die die obige Gleichung erfüllt, sind Zentralpotenziale $V: \mathbb R^3 \backslash \{0\} \rightarrow \mathbb R$ der Form

$V(\vec x) = \frac{\alpha}{|\vec x|},$

die u.a. in der Elektrostatik verwendet werden. V ist in diesem Fall eine Verkettung der skalaren Funktion $\bar V: \mathbb R \backslash \{0\} \rightarrow \mathbb R$ mit

$\bar V(x) = \frac{\alpha}{x}$

mit der euklidischen Norm:

$V(\vec x) = \bar V(|\vec x|)$