Kugelkalotte

Der violette Körper ist eine Kugelkalotte

Eine Kugelkalotte, auch Kugelkappe, Kugelhaube, Kugelsegment oder Kugelabschnitt, ist ein abgeflachter Kugelschnitt als flache Kuppel. Im mathematischen Sinne unterscheidet man Kugelsegment als Körper mit einer Oberfläche, die aus einem Kegelmantel und einer Kugelkalotte besteht. Eine Kugel ist durch den Radius eindeutig bestimmt, eine Kalotte durch Radius und Öffnungswinkel.

Mathematische Definition

Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, so heißt die entstehende Schnittlinie Großkreis, wenn die Ebene den Mittelpunkt der Kugel enthält, andernfalls Kleinkreis. Die beiden dabei entstehenden Teilkörper heißen Kugelabschnitt oder Kugelsegment. Die Halbkugel ist also ein spezielles Segment.

Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkappe, Kugelhaube oder Kugelkalotte genannt.

Formeln

Volumen einer Kugelkalotte:

$V_\mathrm{KS} = \frac{h^2 \pi}{3} (3r - h).$

Oberfläche eines Kugelsegments:

A = πr(2h + a).

Oberfläche einer Kugelkalotte (also ohne Kegelmantel)

$\begin{align} A_\mathrm{KK} &= 2 r h \pi\\ &= 2 r^2 \pi \left(1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)\\ &= 2 \pi r^2 \int_0^{\frac{\alpha}{2}} \sin(x)\mathrm dx \end{align}$

mit:

r: Radius der Kugel

h: Höhe des Segments/der Kalotte

a: Radius der Schnittfläche von Kugel und Ebene

α: Öffnungswinkel (Zentriwinkel)

Eine Kalotte ist durch zwei Größen bestimmt. Aus ihnen lassen sich die anderen Größen ableiten:

$a = r\sin(\alpha/2) = \sqrt{2rh - h^2}$

$h = r(1-\cos(\alpha/2)) = r - \sqrt{r^2 -a^2}$

siehe: Formelsammlung Geometrie

Kalotten und Segmente anderer Kegelschnitte

Im erweiterten Sinne ist ein Segment bzw. Kalotte der Abschnitt jedes aus einem Kegelschnitt entstandenen Rotationskörpers, wie auch eines (im allgemeinen Falle dann nicht rotationssymmetrischen) Ellipsoids und anderer analoger allgemeinerer Körper.

In den obigen Formeln ist dann r durch die jeweils entsprechenden Maße (Halbachsen u. a.) zu ersetzen.

Siehe auch

• Kalotte – Begriffsklärung zu segment- bzw. kalottenförmigen Objekten
• Kugelausschnitt
• Kugelring
• Kugelschicht