Ausgleichung

Als Ausgleichung oder Ausgleichen werden in Wissenschaft und Technik verschiedene Methoden bezeichnet, die zur Erstellung widerspruchsfreier Rechenmodelle aufgrund von Messungen, zur Glättung von Oberflächen bzw. Kurven oder zur Kompensation von technischen Fehlerquellen dienen.

Sprachgebrauch

Im allgemeinen Sprachgebrauch umfasst der Begriff die Milderung von Gegensätzen bzw. Benachteiligungen oder das Herstellen eines Gleichgewichts. Demgegenüber hat der Begriff Ausgleich auch fachspezifische Bedeutungen, etwa als Ausgleichsverfahren im Insolvenzrecht, als Ausgleichszahlung im Finanzwesen und Naturschutz, sowie im Interessenausgleich der Politik (z. B. sozialer Ausgleich, Finanzausgleich, Österreichisch-Ungarischer Ausgleich von 1866).

Ausgleichung im technisch-mathematischen Sinn

In der Wissenschaft werden häufig rechnerische Modelle von natürlichen oder technischen Objekten bzw. Vorgängen erstellt, die eine vereinfachte Repräsentation der messbaren Wirklichkeit darstellen. Um den Aufwand der Modellierung in Grenzen zu halten, kann das Modell nicht alle Attribute des Originals erfassen, sondern nur die vom Bearbeiter als relevant angesehenen. Außer Betracht bleiben auch jene denkbaren Parameter, über die zu wenig Kenntnisse vorliegen, und die unvermeidlichen kleinen Daten- oder Messabweichungen. Letztere sind großteils zufällig verteilt und werden von Unvollkommenheiten der Messmittel bzw. des Beobachters und wechselnden Einflüssen der Umgebung (z. B. Erdatmosphäre) verursacht.

Die Ausgleichung besteht nun darin, die Einflüsse dieser kleinen Abweichungen in einem überbestimmten Modell zu minimieren. Das Ziel der Berechnung ist, dass die ausgeglichenen Beobachtungen bzw. Daten in sich widerspruchsfrei werden. Die wichtigste Methode ist die Ausgleichung nach kleinsten Quadraten. Dabei erhält das Rechenmodell kleine Änderungen, bis die quadrierten Restfehler (Residuen) ein Minimum erreichen. Das Ergebnis ist ein im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung erwartungstreues Modell, das nun die geringfügig divergierenden Messwerte widerspruchsfrei vereinigt.

Diese Methode der Ausgleichungsrechnung wurde von Gauß im Zuge der hannoverschen Landesvermessung entwickelt, wird aber seit über 100 Jahren auch in anderen Fachgebieten benützt. Sie setzt voraus, dass die Restfehler einer Normalverteilung folgen (kleinste Beträge sind am häufigsten, +/− gleicht sich aus).

Ist diese Voraussetzung infolge systematischer Einflüsse nicht gegeben, wird auf andere Methoden zurückgegriffen, etwa auf die Minimierung absoluter Fehler. Zum Aufdecken grober Fehler im Mess- oder Datenmaterial gibt es robuste Schätzverfahren wie das data snooping.

Ausgleichungsverfahren werden z. B. zur Berechnung genauer Vermessungsnetze und zur Glättung gemessener Oberflächen verwendet, aber auch zur Homogenisierung von Datenfeldern und zur Interpolation bzw. Approximation von Funktionen und Kurven.

Ausgleichung physikalischer Abweichungen

In der Physik und in technischen Disziplinen wird oft mit Idealisierungen gearbeitet – beispielsweise der ideal runden Achse oder Kugel, dem Massenpunkt, dem fehlerfreien Linsensystem oder Parabolspiegel, einer glatten Kurve oder Autokarosserie.

Da kleine Abweichungen von der Idealform unvermeidlich sind, braucht es Methoden, um sie in ihrer Wirkung zu minimieren, rechnerisch „wegzurechnen“ oder mit technischen Mitteln zu reduzieren. Beispiele sind die Berechnung einer idealen Oberfläche oder des ungestörten Meeresspiegels (Geoid), die Minimierung von Linsenfehlern durch verschiedene Linsen- und Glassorten, oder die Kompensation von Achsfehlern oder Unrundheiten durch spezielle Messvorgänge (z. B. Kippachsfehler beim Theodolit).

Viele Resteinflüsse lassen sich auch rein mechanisch vermindern, z. B. in Form eines Druckausgleichs, durch Nachschleifen einer Oberfläche oder durch ein geeignetes Schmiermittel. Beim Schleifen eines Teleskopspiegels etwa wird die Abweichung von der idealen Parabel- oder Kugelform durch optische Prüfmethoden genau festgestellt und das Schliffwerkzeug aufgrund dieser Messungen geführt. Kleine Restbeträge können auch durch Polieren ausgeglichen werden.

Die Fotografie kennt die Ausgleichung zu großer Kontraste – entweder in der Dunkelkammer oder mit digitaler Bildverarbeitung. In der Chemie übt u. a. Osmose und Diffusion ausgleichende Einflüsse aus, in der Geologie der isostatische Ausgleich (Schwimmgleichgewicht) zwischen Erdkruste und Erdmantel.

Siehe auch

• Balance, Mittelung
• Ausgleichsbecken, Ausgleichsgetriebe
• Blockausgleichung, Netzausgleichung
• Ausgleichende Gerechtigkeit

Literatur und Weblinks

• Walter Grossmann: Grundzüge der Ausgleichungsrechnung. Springer-Verlag 1969.
• Wolfgang Niemeier: Ausgleichungsrechnung. De Gruyter Lehrbuch, 2001
• Lexikon d. Geowiss.: Ausgleichung nach der Methode kleinster Quadrate. Siehe auch Lexikon der Geowissenschaften
• Robuste Ausgleichung, A.Carosio, ETH Zürich (PDF-Datei; 225 kB)