Rauschzahl

Die Rauschzahl, manchmal auch Rauschfaktor genannt, ist in der Nachrichtentechnik eine Kennzahl für das Rauschen eines linearen Zweitors. Ein Zweitor kann in diesem Zusammenhang beispielsweise eine Verstärkerstufe darstellen.

Allgemeines

Signal- (S) und Rauschleistungen (N) am Eingang und Ausgang eines Zweitors

Zur Ermittlung der Rauschzahl wird angenommen, dass der Generator in nebenstehender Skizze mit der Generatorspannung U_G den Eingang des Zweitors über eine ideale Impedanz Z_G speist und zusätzlich zum Nutzsignal S₁ thermisch rauscht. Dies ist durch die schraffiert eingezeichnete Rauschspannungsquelle U_R dargestellt, welche die bandbegrenzte Rauschspannung

$U_R = \sqrt{4 k T R_G B}$

erzeugt. R_G beschreibt den Realteil der Generatorimpedanz Z_G. Das ebenfalls rauschende Zweitor befindet sich auf einer Rauschtemperatur T von 290 K. Der Temperaturwert, der ungefähr der Raumtemperatur entspricht, ist willkürlich gewählt und bezeichnet die Standard-Rauschzahl ^[1].

An den Eingang wird eine Signalleistung S₁ und eine Rauschleistung N₁ dem Zweitor zugeführt, deren Verhältnis das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) des Einganges S₁ / N₁ darstellt. Das Zweitor gibt dann an seinem Ausgang eine Signalleistung S₂ und Rauschleistung N₂ an die Impedanz Z_L ab. Bei einem ideal angenommenen, rauschfreien Zweitor ist das SNR des Ausgangs S₂ / N₂ gleich dem SNR des Eingangs S₁ / N₁.

Bei realen Zweitoren, wie beispielsweise einem elektronischen Verstärker mit dem Verstärkungsfaktor G, weist der Verstärker intern mit dem Generator nicht korrelierte Rauschquellen auf, wodurch das Signal-Rausch-Verhältnis am Ausgang immer geringer als das Signal-Rausch-Verhältnis vom Eingang ist:

$\frac{S_2}{N_2} \le \frac{S_1}{N_1}$

Die Herausforderung eines Verstärkers besteht in diesem Zusammenhang darin, möglichst wenig Eigenrauschen dem Signal hinzuzufügen, so dass trotz Verschlechterung des Signal-Rausch-Verhältnisses am Ausgang das Nutzsignal S über dem Rauschpegel der nachfolgenden Verarbeitungsstufen liegt.

Definition

Die Rauschzahl F ist gegeben durch das Verhältnis:

$F = \frac{\mathrm{SNR}_\mathrm{ein}}{\mathrm{SNR}_\mathrm{aus}} = \frac{N_2}{G \cdot N_1}$

mit dem Verstärkungsfaktor G des Verstärkers. Liegt eine Dämpfung, wie beispielsweise bei einem Kabel vor, ist G kleiner 1. Häufig wird die Rauschzahl logarithmisch in Dezibel (dB) angegeben:

$F_{\mathrm{dB}} = 10 \cdot \mathrm{log} \frac{\mathrm{SNR}_\mathrm{ein}}{\mathrm{SNR}_\mathrm{aus}}$

Da die Größen im allgemeinen von der Frequenz abhängen, wird für die praktische Bestimmung der Rauschzahl im Rahmen der Rauschmessung eine hinreichend kleine Bandbreite gewählt, innerhalb der alle Größen über die Frequenz näherungsweise konstant sind. Damit wird die Rauschzahl zu einer Funktion der Frequenz, die dann auch als spektrale Rauschzahl bezeichnet wird.

Lineares Zweitor

Weiter ist es möglich, die Rauschzahl über die im linearen Zweitor zusätzlich erzeugte Rauschleistung N_v zu beschreiben. Die ausgangsseitige Rauschleistung N₂ setzt sich zusammen aus der verstärkten Eingangsseitig zugeführten Rauschleistung und der im Zweitor erzeugten Rauschleistung N_v:

N₂ = N₁G + N_v

Damit kann die Rauschzahl des linearen Zweitors dargestellt werden:

$F = \frac{G N_1 + N_v}{G N_1} = 1 + \frac{N_v}{G N_1}$

mit der durch das Zweitor zusätzlich eingebrachten Rauschzahl F_v:

$F_v = F - 1 = \frac{N_v}{G N_1}$

Bei idealen, rauschfreien Zweitoren ist N_v = F_v = 0. Demzufolge beträgt für das ideale, rauschfreie lineare Zweitor frequenzunabhängig die Rauschzahl 1.

Kaskade

Werden mehrere Zweitore als eine Kaskade in Reihe geschaltet, dieses ist beispielsweise bei einer Aneinanderreihung von Verstärkern entlang einer längeren Leitung der Fall, lässt sich die Rauschzahl F_g einer Kaskade mit n Zweitoren verallgemeinern zu:

$F_{g} = 1 + (F_1 - 1) + \frac{F_2-1}{G_1} + \frac{F_3-1}{G_1\cdot G_2} + \frac{F_4-1}{G_1\cdot G_2\cdot G_3} + \cdots + \frac{F_n - 1}{G_1 G_2 G_3 \cdots G_{n-1}}$

Diese erweiterte Form der Rauschzahl wird auch als Friis-Formel bezeichnet.

Rauschtemperatur

Die Rauschzahl eines Zweitors lässt sich auch mit Hilfe der Rauschtemperatur ausdrücken:

$F = 1 + \frac{T_\mathrm{e}}{T_0}$

Dabei ist T₀ die Bezugstemperatur die für die Standard-Rauschzahl mit 290 K festgelegt ist. Ein idealer, rauschfreier Verstärker weist eine Rauschtemperatur von T_e=0 K auf, was einer Rauschzahl von 1 entspricht. Ein realer Verstärker, der sich beispielsweise auf einer Rauschtemperatur von T_e=290 K befindet, weist eine Rauschzahl von 2 auf, was bedeutet, dass sich das SNR am Ausgang des Verstärkers um 3 dB verschlechtert. Insbesondere für Eingangsverstärker und zur Erzielung eines hohen SNR ist es daher nötig, die Rauschtemperatur des Verstärkers möglichst niedrig zu halten.

Nichtlineares Zweitor

Nichtlineare Zweitore können die Spektren von Nutzleistung und Rauschleistung am Zweitoreingang so verändern, dass durch Filtermaßnahmen in günstigen Fällen Rauschzahlen kleiner als 1 entstehen können. Ein typisches Beispiel ist ein Demodulator für frequenzmodulierte Nutzsignale, der für Signal-Rausch-Verhältnisse am Eingang oberhalb eines Schwellenwerts ein verbessertes Signal-Rausch-Verhältnis am Demodulatorausgang produziert.

Einzelnachweise

1. ↑ H.W. König: Die Rauschzahl linearer Zweitore und Verstärkerröhren. Tagungsband Frequenz, 1955, S. 3-11.

Literatur

• Rudolf Müller: Rauschen. 2. Auflage. 15, Springer Verlag, 1989, ISBN 3-540-51145-8.
• Curt Rint: Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro- Techniker.. 12. Auflage. Hüthig und Pflaum Verlag GmbH, 1979, ISBN 3-8101-0044-7.
• Jürgen Detlefsen, Uwe Siart: Grundlagen der Hochfrequenztechnik. 2. Auflage. Oldenbourg Verlag, München Wien 2006, ISBN 3-486-57866-9.