Freier Fall

Berechenbarkeit beim freien Fall: Aufgenommen sind 20 Bilder pro Sekunde. Während der ersten 1/20 Sekunde durchfällt der Ball »eine Längeneinheit« (in diesem Beispiel etwa 12 mm); innerhalb von 2/20 Sekunden vier Längeneinheiten; innerhalb von 3/20 Sekunden dann neun Längeneinheiten und so weiter.

Als freier Fall ist die durch das Schwerefeld der Erde bewirkte beschleunigte Bewegung eines Körpers frei vom Einfluss weiterer äußerer Kräfte definiert. Während des freien Falls befindet sich der Körper im Zustand der Schwerelosigkeit.

Auf der Erde wird neben dem Schwerefeld in der Regel auch der Luftwiderstand wirksam. Diesem kann man im Vakuum eines Fallturms entgehen. Beim Parabelflug eines Flugzeugs wird der Luftwiderstand des Flugzeugs durch Triebwerksschub kompensiert. Solange das Flugzeug einer Wurfparabel folgt, herrscht annähernd Schwerelosigkeit.^[1] Einen längeren Fall mit Luftwiderstand kann ein Mensch beim Fallschirm- oder Bungee-Springen erfahren.

Geschichte

Demonstration des freien Falls auf dem Mond (Feder und Hammer werden fallen gelassen durch David Scott, Apollo 15)

Der griechische Philosoph Aristoteles (384–322 v. Chr.) beschäftigte sich mit der Bewegung von Körpern. Nach seiner Meinung bewegten sich im Wasser schwere Körper nach unten, leichte wegen „ihrer Leichtigkeit“ nach oben. Schwere Körper müssten daher schneller zu Boden fallen als weniger schwere. Giovanni Battista Benedetti (1530-1590) widerlegte 1554 in seinem Werk Demonstratio proportionum motuum localium contra Aristotilem et omnes philosophos in einem simplen Gedankenexperiment diese Annahme: Zwei gleiche Kugeln, die durch eine (masselose) Stange fest verbunden werden, fallen mit derselben Geschwindigkeit wie jede der beiden Kugeln allein.

Auch war Aristoteles der Meinung, ein Körper bewege sich während des Falles mit gleich bleibender Geschwindigkeit. Diese Auffassungen wurden sowohl bei den spätantiken Gelehrten als auch bei den arabischen und denen der Scholastik nicht ernsthaft in Zweifel gezogen. Galileo Galilei (1564–1642) erkannte 1590 die Gesetze des freien Falls: Alle Körper fallen im Vakuum unabhängig von ihrer Gestalt, Zusammensetzung und Masse gleich schnell. Ihre Fallgeschwindigkeit ist proportional zur Fallzeit, der Fallweg proportional zum Quadrat der Fallzeit. Die Beschleunigung ist dabei am selben Ort für alle Körper gleich groß. Er versuchte durch Experimente die Schwerebeschleunigung festzustellen. Er hatte jedoch noch keinen genauen Zeitmesser und „verlangsamte“ deshalb die Bewegungen, indem er eine Kugel eine sogenannte Fallrinne hinab rollen ließ. Als Zeitmesser diente ein Eimer voll Wasser. Ein kleiner Wasserstrahl ergoss sich in einen Becher, und die Wassermenge während der Fallzeit wurde auf einer genauen Waage gewogen. Dass er den freien Fall auch dadurch untersuchte, dass er zwei Objekte vom Turm zu Pisa fallen ließ, ist eine Legende.

Allerdings beschrieb der römische Dichter und Philosoph Lukrez schon ca. 55 v. Chr. in seinem Werk „De rerum natura“ („Über die Natur der Dinge“), dass fallende Objekte nur vom Wasser- oder Luftwiderstand gebremst werden, und daher leichte Körper langsamer, im Vakuum aber alle Körper gleich schnell fallen müssen:^[2]

„Wer nun etwa vermeint, die schwereren Körper, die senkrecht

Rascher im Leeren versinken, vermöchten von oben zu fallen

Auf die leichteren Körper und dadurch die Stöße bewirken,

Die zu erregen vermögen die schöpferisch tätigen Kräfte:

Der entfernt sich gar weit von dem richtigen Wege der Wahrheit.

Denn was immer im Wasser herabfällt oder im Luftreich,

Muß, je schwerer es ist, um so mehr sein Fallen beeilen,

Deshalb, weil die Natur des Gewässers und leichteren Luftreichs

Nicht in der nämlichen Weise den Fall zu verzögern imstand ist,

Sondern im Kampfe besiegt vor dem Schwereren schneller zurückweicht:

Dahingegen vermöchte das Leere sich niemals und nirgends

Wider irgendein Ding als Halt entgegenzustellen,

Sondern es weicht ihm beständig, wie seine Natur es erfordert.

Deshalb müssen die Körper mit gleicher Geschwindigkeit alle

Trotz ungleichem Gewicht durch das ruhende Leere sich stürzen (...)“

Erst Robert Boyle bestätigte 1659 experimentell, dass Körper unterschiedlicher Masse im Vakuum gleich schnell fallen.

Isaac Newton (1643–1727) formulierte dann das Gravitationsgesetz, welches nicht nur den freien Fall auf der Erde erklärt, sondern auch die Umlaufbahnen von Mond und Planeten als Fallphänomene beschreibt.

Die allgemeine Formel für den freien Fall lautet (falls der Körper in der Höhe h₀ ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird, ohne Berücksichtigung der Luftreibung):

$h(t) = h_0-\frac{1}{2}gt^2$

wobei h die Höhe des Körpers zur Zeit t bezeichnet, h₀ die Ausgangshöhe und g die Fallbeschleunigung. (Das Minuszeichen bezieht sich auf die Richtung der Fallbewegung des Körpers.) Die Strecke s, die der Körper fallend zurückgelegt hat, ist demnach

$s(t)=|h(t)-h_0|=\frac{1}{2}gt^2$

Erdnaher freier Fall

Auf der Erdoberfläche schwankt der Betrag der Fallbeschleunigung wegen der Erdabplattung und der Erdrotation in Meereshöhe zwischen ca. 9,78 m/s² (Äquator) und 9,83 m/s² (Pole). Zusätzlich ist sie von der Höhe über Normal-Null abhängig (siehe auch: Ortsfaktor). Die „Normal-Fallbeschleunigung“ legt DIN 1305 als g = 9,80665 m/s² fest. Der Wert für die Erdschwerebeschleunigung wird allgemein mit g = 9,81 m/s² angegeben.

Beim freien Fall in Erdnähe würde die Geschwindigkeit v eines fallenden Körpers - bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes - um 9,81 m/s pro Sekunde steigen. Dann wäre der freie Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Ein Fallschirmspringer, der sich aus einem stationären Ballon fallen lässt, wird zunächst immer schneller, seine Geschwindigkeit nimmt stetig zu. Seine Beschleunigung entspricht dabei der Erdschwerebeschleunigung und ist größer als die eines Autos: Nach einer Sekunde hat er theoretisch eine Geschwindigkeit von v = 9,81 m/s (zirka 35 km/h), nach zwei Sekunden 19,62 m/s (etwa 71 km/h), nach drei Sekunden 29,43 m/s (rund 106 km/h). In einem echten freien Fall, d. h. im Vakuum, würde die Geschwindigkeit linear weiter entsprechend ansteigen.

Tatsächlich wirkt auf den Fallschirmspringer jedoch auch der Luftwiderstand, welcher quadratisch mit der Geschwindigkeit zunimmt. Die resultierende Beschleunigung entspricht daher nur am Anfang der Erdschwerebeschleunigung, nachher nimmt sie ab, bis nach ca. 7 Sekunden die Beschleunigung Null wird — der Fallschirmspringer fällt nun mit der Fallgrenzgeschwindigkeit des menschlichen Körpers von ca. 55 m/s (ca. 198 km/h). Diese Geschwindigkeit ist allerdings nicht die maximal erreichbare Geschwindigkeit, sondern diejenige, die bei Einnahme der stabilen, quer zum Fall ausgerichteten Lage mit gespreizten Armen und Beinen erreicht wird. In einer geraden, senkrechten Haltung mit dem Kopf voran ist der Luftwiderstand deutlich geringer und es werden Geschwindigkeiten knapp über 500 km/h erreicht.

Die höchste Geschwindigkeit, die ein Mensch jemals im freien Fall erreichte, betrug aufgrund der dünnen Luftschicht 988 km/h. Am Morgen des 16. August 1960 stieg der Testpilot Joseph Kittinger im Rahmen des Projekt Excelsior mit einem Druckanzug in einem Stratosphärenballon in eine Höhe von 30 km auf und sprang aus einer am Ballon befestigten Kapsel ab. Erst nach 4,5 min freiem Fall erreichte Kittinger die oberen Wolkenschichten. Aufgrund der Gefahr der Bildung von Stickstoffbläschen in seinem Blut, bedingt durch den niedrigen Luftdruck, musste Kittinger vor Beginn des Flugs für zwei Stunden reinen Sauerstoff atmen. Am Rand der Kapsel war der Text „This is the highest step in the world“ („Dies ist die höchste Stufe der Welt“) angebracht.

Berechnung mit Differentialgleichungen

Der freie Fall betrachtet den Fall eines Körpers in einem Schwerefeld ohne Einfluss eines umgebenden Mediums bzw. Atmosphäre. Dies ist bei geringen Geschwindigkeiten auch häufig eine vernünftige Näherung. Soll die Beschleunigung jedoch exakt ermittelt werden, muss der Auftrieb, die Stokes-Reibung und Newton-Reibung berücksichtigt werden.

Freier Fall (ohne Reibung)

Kräfte am fallenden Körper ohne Reibung

Die Differentialgleichung für den freien Fall eines Körpers ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands folgt aus den Bewegungsgleichungen (2. Newtonsches Axiom):

$m\ddot z = -mg$

Durch Integration erhält man

$v(t) = \dot z(t) = -g t + v_0$

mit der Integrationskonstante v₀ als Anfangsgeschwindigkeit. Nochmalige Integration ergibt schließlich

$z(t)=-\frac{1}{2}g t^2 + v_0 t + z_0$

Dabei bezeichnet z(t) die momentane Höhe, z₀ die Anfangshöhe und v₀ die Anfangsgeschwindigkeit. z(t) und v(t) haben positives Vorzeichen nach oben.

Fall mit Auftrieb

→Hauptartikel: Auftrieb

Das umgebende Medium wirkt mit einer Kraft auf den Körper, die der Gewichtskraft der Masse des verdrängten Mediums entspricht und dieser entgegengesetzt gerichtet ist. Der Auftrieb ist vernachlässigbar, wenn das Verhältnis $\rho_\mathrm{K\ddot orper}/\rho_\mathrm{Medium}\gg1$ gilt, wobei ρ die Dichte ist.

Beispielsweise lässt sich der Auftrieb von Luftballons in der Luft oder von Menschen im Wasser nicht vernachlässigen.

Die Auftriebskraft ist:

$F_\mathrm{A} = \rho_0\cdot V\cdot g = \rho_\mathrm{K}\cdot V\cdot(\frac{\rho_0}{\rho_\mathrm{K}}\cdot g) = m\cdot (\frac{\rho_0}{\rho_\mathrm{K}}\cdot g)$

wobei V das Volumen des Körpers ist, ρ_K die Dichte des verdrängten Körpers und ρ₀ die Dichte des verdrängten Mediums. Wir definieren $g_\mathrm{A} := \rho_0/\rho_\mathrm{K}\cdot g$ als Auftriebsbeschleunigung.

Damit erhalten wir für die gesamte Kraft:

$F = F_\mathrm{G} + F_\mathrm{A} = -m\cdot g +m\cdot g_\mathrm{A} = -m\cdot(g - g_\mathrm{A}) = -m\cdot\tilde g$

wobei $\tilde g:= g-g_\mathrm{A} = (1-\rho_0/\rho_\mathrm{K})\cdot g$ als angepasste Fallbeschleunigung bezeichnet wird.

Die Lösung für diese Differentialgleichung ist dann analog zum freien Fall:

$z(t)=-\frac{1}{2}\tilde g t^2 + v_0 t + z_0$

Zu beachten ist, dass $\tilde g$ auch negativ sein kann, falls ρ_K < ρ₀.

Fall mit Stokes-Reibung

Kräfte am fallenden Körper mit Stokes-Reibung

→Hauptartikel: Gesetz von Stokes

Bei kleinen Geschwindigkeiten ist die Reibung proportional zur Fallgeschwindigkeit:

F_R = − βv

mit einem Reibungskoeffizienten β. Die Bewegungsgleichung in z-Richtung (vertikal) lautet daher

$m\ddot z = -mg - \beta \dot z$

bzw.

$m\dot v = -mg - \beta v.$

Diese Gleichung führt zu den Ausdrücken

$v(t) = -\frac{mg}{\beta}\left( 1 - e^{-\beta t/m} \right) + v_0 e^{-\beta t/m}$

für die Geschwindigkeit und

$z(t) = \left(v_0 + \frac{mg}{\beta}\right)\left(\frac{m}{\beta}\right)\left( 1 - e^{-\beta t/m} \right) - \frac{mg}{\beta}t + z_0$

für die Höhe. Sowohl die Geschwindigkeit als auch die zurückgelegte Strecke des fallenden Gegenstands hängen von seiner Masse ab, was der Alltagserfahrung entspricht. Die Grenzgeschwindigkeit, welche sich für einen freien Fall mit Stokes-Reibung einstellen würde, beträgt

$\lim_{t \to \infty}v(t) = v_{\infty} = -\frac{mg}{\beta}$

Kräfte am fallenden Körper mit Newton-Reibung

Fall mit Luftwiderstand: Newton-Reibung

Aus der Bewegungsgleichung $m \ddot z = -m g + k v^2$ für eine Bewegung nach unten (d.h. v<0) folgt die Differentialgleichung

$m \dot v = -m g + k v^2$.

Diese Differentialgleichung ist vom Riccatischen Typus und somit bei Kenntnis einer partikulären Lösung analytisch lösbar. Eine partikuläre Lösung entspricht dem stationären Zustand

$v(t\rightarrow\infty) = v_\infty = -\sqrt{mg/k}$.

Daraus ergibt sich für die Geschwindigkeit

$v(t) = v_\infty \tanh\left(\frac{g t}{v_\infty} - \operatorname{artanh}\left(\frac{v_0}{v_\infty}\right) \right)$

wobei tanh(x) der Tangens Hyperbolicus, artanh(x) der Areatangens Hyperbolicus und v₀: = v(t = 0) ist.

Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm

Der Weg ergibt sich dann direkt als Integral der Geschwindigkeit über der Zeit zu

$z(t) = -\frac{v_\infty^2}{g} \ln\Biggl(\cosh\left(\frac{g t}{v_\infty} - \operatorname{artanh}\left(\frac{v_0}{v_\infty}\right)\right)\Biggr)+z_0$

wobei ln(x) der Logarithmus Naturalis, cosh(x) der Cosinus Hyperbolicus und z₀: = z(t = 0) ist.

Da die Geschwindigkeit quadratisch in die Bewegungsgleichung eingeht, muss der Vorzeichenwechsel bei Bewegungsumkehr im Reibungsterm explizit durch Fallunterscheidung berücksichtigt werden. Die allgemeine Bewegungsgleichung lautet daher

$m \ddot z = -m g -\sgn(v) k v^2$.

Die Lösungen für Zeiten mit v(t) > 0 (momentane Bewegung nach oben) folgen aus obigen Lösungen durch die Substitution $k\rightarrow -k$. Die Konstante k ist von der Form des Körpers und von der Dichte des strömenden Mediums (etwa der Luft) abhängig. Es gilt:

$k = \frac{1}{2} c_\mathrm{w} A \rho$,

wobei c_w der Widerstandsbeiwert, A die Körperquerschnittsfläche und ρ die Dichte des umgebenden Mediums (Luft) ist.

Beispiel: Meteoroid

Bremsbeschleunigung, welche ein in die Erdatmosphäre eindringender Meteoroid erfährt; bei einer höheren Anfangsgeschwindigkeit ergibt sich auch ein höherer Peak (Spitzenwert).

Geschwindigkeitsverlauf des Meteoroiden

Im Folgenden wird angenommen, dass ein kugelförmiger Meteoroid mit dem Querschnitt A und der Masse m in die Erdatmosphäre eindringt und dabei abgebremst wird. Gesucht sind die Geschwindigkeit und Bremsbeschleunigung des Meteoroiden als Funktion der Höhe über dem Erdboden. Die Gravitationsbeschleunigung der Erde wird mit zunehmender Höhe h(t) über der Erdoberfläche kleiner. Es gilt

$a_\mathrm{grav} = - g \cdot \left( \frac{r}{r+h(t)} \right)^2$,

wobei r den Erdradius bezeichnet. Nach der barometrischen Höhenformel beträgt die Luftdichte in dieser Höhe

$\rho(h) = \rho_0 \cdot e^{-\frac{M g}{R T} h(t)}.$

Dabei ist ρ₀ die Luftdichte am Erdboden, M die mittlere molare Masse der Atmosphärengase (0,02896 kg mol⁻¹), $R\,$ die universelle Gaskonstante (8,314 J K⁻¹ mol⁻¹) und $T\,$ die absolute Temperatur. Der Strömungswiderstand der Luft F_L bei der Geschwindigkeit v(t) ist von dieser Dichte abhängig:

$F_L = \frac{1}{2} \rho(h) C_w A v^2(t).$

Die effektive Beschleunigung auf den Meteoroid der Masse m entspricht der Gravitationsbeschleunigung abzüglich der Bremsbeschleunigung:

$a_\mathrm{eff} = \ddot h(t) = a_\mathrm{grav} + \frac{F_L}{m}$

Setzen wir die obigen Formeln in diese Gleichung ein, so ergibt sich die Bewegungsgleichung des Meteoroiden:

$\ddot h(t) + g\left(\frac{r}{r+h(t)}\right)^2 - \frac{1}{2 m} \rho_0\ \cdot e^{-\frac{M g}{R T} h(t)} C_w A \cdot \dot h^2(t)=0$

In den nebenstehenden Diagrammen wurde die Bewegungsgleichung für einen Eisen-Meteoroid mit dem Volumen V = 1 cm³ und der Masse m = 7,874 g numerisch gelöst. Dabei hat der Meteoroid jeweils die Anfangsgeschwindigkeiten v_{0 1} = 15 km/s, v_{0 2} = 25 km/s oder v_{0 3} = 35 km/s. Es stellt sich heraus, dass ein solcher Körper stets im selben Höhenbereich abgebremst wird, wobei eine größere Masse bei gleichbleibender Dichte alle Kurven in den Diagrammen lediglich nach links verschiebt. Da eine Beschleunigung von 1 km/s² etwa der 102-fachen Erdbeschleunigung entspricht, sind schnelle Meteoroiden einer enormen Kraft ausgesetzt, welche diese in Fragmente zerreißt und ob der hohen Reibungswärme verglühen lässt. Das so entstehende Licht macht einen kleinen Teil der Leuchterscheinung einer Sternschnuppe aus.

Siehe auch

• Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
• Wurfparabel

Einzelnachweise

1. ↑ Rainer Müller: Klassische Mechanik. de Gruyter, 2009 (S. 126 in der Google Buchsuche).
2. ↑ Text auf Zeno.org

Weblinks

• Freier Fall eines Bleizylinders und einer Feder im Vakuum im Vergleich (Experiment mit Video)
• Video aus der Sendung „Anderthalb“ über den freien Fall (1,5 Minuten): schnelle Verbindung langsame Verbindung
• Freier Fall mit und ohne Luftwiderstand mit Herleitung des Luftwiderstands.