Schräger Wurf

Unterschied zwischen einem schiefen Wurf mit Stokes-Reibung (Schwarz) und ohne jegliche Luftreibung (Blau).

Die Wurfparabel ist die Flugbahn, die ein Körper beim schiefen Wurf in einem homogenen Schwerefeld beschreibt, wenn man den Einfluss des Luftwiderstands vernachlässigt. Diese Vernachlässigung ist bei niedrigen Geschwindigkeiten und kompakten Körpern oder im Vakuum möglich. Der Scheitel der Parabel befindet sich dabei am höchsten Punkt der Flugbahn, die Parabel ist nach unten geöffnet.

Die ballistische Kurve ist die von der idealen Wurfparabel abweichende Kurve unter Einfluss des Luftwiderstandes. Die Wurfparabel ist die Idealisierung der ballistischen Flugbahn.

Wurfparabel (ohne Luftwiderstand)

Grund für die Parabelform ist die Tatsache, dass während des Fluges nur die Schwerkraft auf den Körper einwirkt. Zur Berechnung wird die Anfangsgeschwindigkeit in die zueinander senkrechten Komponenten x und y zerlegt, die unabhängig voneinander behandelt werden können. Die horizontale x-Komponente ist völlig unabhängig von der vertikalen y-Komponente, die nach oben gerichtet sei. Das hat folgende Konsequenzen:

• In horizontaler Richtung fliegt der Körper nach dem ersten Newtonschen Gesetz mit konstanter Geschwindigkeit v_x dahin, da in dieser Richtung keine Kraft auf ihn wirkt; bei konstanter Geschwindigkeit ändert sich die Entfernung linear mit der Zeit. Für diese Entfernung gilt die Formel

$x = v_x \cdot t$

• In vertikaler Richtung bewirkt die Schwerkraft eine konstante Beschleunigung nach unten, nämlich die Schwerebeschleunigung g = 9,81 m/s². Die Geschwindigkeit v_y ist

$v_y = v_{y(\mathrm{Start})} - g\!\,t$

Der Ort y ergibt sich daraus durch Integrieren über die Zeit zu

$y = v_{y(\mathrm{Start})} \cdot t - \frac{g}{2} t^2$

Mathematische Beschreibung

Der Körper werde mit einer Geschwindigkeit v₀ unter dem Winkel β schräg nach oben geworfen. Dann gilt für die Geschwindigkeitskomponenten, aus denen die Abwurfgeschwindigkeit durch lineare Superposition zusammengesetzt ist (unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes):

• horizontal: horizontale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit

$x(t) = v_{0} t \cdot \cos\beta$

• vertikal: vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit plus Geschwindigkeitsänderung durch konstante Beschleunigung
  

$y(t) = v_{0} t \cdot \sin\beta -\frac{g}{2} t^2$

Die vektorielle Bahngleichung lautet dann:

$\vec{r}(t) = (x(t), y(t)) = \left(v_0 t \cdot \cos\beta, v_0 t \cdot\sin \beta -\frac{g}{2} t^2\right)$

Die explizite Bahngleichung im Ortsraum (auflösen von x(t) nach t und in y(t) einsetzen) lautet:

$y(x) = \tan\beta\cdot x - \frac{g}{2{v_0}^2 \cdot \cos^2\beta}x^2$

(Bedeutung der weiteren Variablen: t ist die Zeit, g ist die Schwerebeschleunigung)

Reichweite

Die maximale Reichweite R wird üblicherweise dadurch definiert, dass die Wurfparabel die Ausgangshöhe wieder erreicht, d. h. y(R) = 0. Damit kann man die Bewegungsgleichung nach R auflösen und erhält:

$R = \frac{{v_0}^2}{g}\sin(2 \beta)$.

Startwinkel für die maximale Reichweite

Da die Sinusfunktion bei $90^\circ$ ihren größten Wert $\sin90^\circ = 1$ hat, erreicht man bei Anfangshöhe h₀ = 0 die größte Reichweite für $\beta_{max} = 45^\circ$.

Reichweite bei von Null verschiedener Anfangshöhe

Für $h_0\ne 0$ können die maximale Reichweite und der zugehörige Startwinkel aus der einhüllenden Wurfparabel auch ohne Verwendung von Ableitungen bestimmt werden. Für h₀ > 0 ist $\beta_{\max} &amp;amp;gt; 45^\circ$, für h₀ < 0 folgt umgekehrt $\beta_{\max} &amp;amp;lt; 45^\circ$.

Scheitel

Der Scheitelpunkt wird erreicht, wenn die vertikale Geschwindigkeitskomponente ihren Nulldurchgang hat, d. h. wenn sich eine zuerst nach oben gerichtete Bewegung umkehrt in eine nach unten gerichtete Bewegung. Wenn der Wurf nach oben gerichtet war, dann ist die Schwerebeschleunigung entgegengesetzt zur vertikalen Bewegungsrichtung des Körpers und wirkt dann nicht beschleunigend, sondern verzögernd, bis sie ihn auf Null abgebremst hat und anschließend nach unten weiter beschleunigt. Im Scheitelpunkt wurde also die gesamte kinetische Energie (in vertikaler Richtung) umgesetzt in potentielle Energie.

Den Scheitel kann man berechnen, da der Wurf eine Parabelform hat, und der Scheitel somit zwischen den Nullstellen 0 und R liegt. Der Scheitel hat also die x-Koordinate $\frac{1}{2} \cdot R$ Die y-Koordinate erhält man durch die Bewegungsgleichung.

Aufgelöst, hat der Scheitel folgende Koordinaten:

$x_\mathrm{S} = \frac{\sin (2\beta)}{2} \cdot \frac{v_0^2}{g} = \sin \beta \cdot \cos \beta \cdot \frac{v_0^2}{g}$

$y_\mathrm{S} = \frac{v_0^2 \cdot \sin^2 \beta}{2g}$

Erläuterung an einem Beispiel

Wurfparabel mit Höhen- und Zeitskala (Wurf mit ~36 m/s unter 63°, Aufprall ohne Atmosphäre nach 8 Sekunden).