Thermodynamische Temperatur

Thermodynamische Temperatur
Physikalische Größe
Name Absolute Temperatur
(Thermodynamische Temperatur)
Formelzeichen der Größe T
Formelzeichen der Dimension θ
Größen- und
Einheiten-
system
Einheit Dimension
SI Kelvin (K) θ
Planck Planck-Temperatur ħ1/2·c1/2·G-1/2·k-1/2

Der Begriff absolute Temperatur, auch thermodynamische Temperatur, bezeichnet einen Temperaturwert, der sich auf den absoluten Nullpunkt bezieht. Er ist ein Grundbegriff der Thermodynamik und der Physikalischen Chemie. Die zugehörige Temperaturskala ist die Kelvin-Skala, in den USA wird auch die Rankine-Skala verwendet.

Da der absolute Nullpunkt die tiefst mögliche Temperatur darstellt, die nur theoretisch erreicht werden kann (siehe dritter Hauptsatz der Thermodynamik), stellt die Kelvin-Skala eine absolute Skala dar. Andere Temperaturskalen hingegen beziehen sich stets auf einen Nullpunkt, der willkürlich festgelegt wurde, wie beispielsweise die Celsius-Skala, deren Nullpunkt ursprünglich der Gefrierpunkt von Wasser war.

Inhaltsverzeichnis

Thermodynamische Definition

Die thermodynamische Temperatur eines physikalischen Systems im thermischen Gleichgewicht wird formal mit Hilfe des Wirkungsgrades von Wärmekraftmaschinen definiert. Folgende zwei Forderungen definieren die thermodynamische Temperatur:

  • Zunächst definiert man den Quotienten von Temperaturen wie folgt: Man betrachtet eine reversibel und periodisch arbeitende Wärmekraftmaschine, die in einer Periode einem Reservoir A eine (infinitesimal kleine) Wärmemenge QA entnimmt, einen Teil davon in mechanische Arbeit W umwandelt, und den Rest QB = QAW als Abwärme an ein Reservoir B abgibt. Die beiden Reservoirs A und B sollen sich dabei im thermischen Gleichgewicht befinden. (Dabei sind sowohl negative als auch positive Vorzeichen für W zugelassen, je nachdem, ob A kälter oder wärmer als B ist.) Das Verhältnis der Temperaturen TA und TB von A bzw. B wird dann so definiert:
 \frac{T_A}{T_B}=\frac{Q_A}{Q_B}
  • Durch die Wahl eines Temperatur-Referenzpunkts wird dann die thermodynamische Temperatur vollständig definiert. Zum Beispiel wählt man im SI-Einheitensystem den Referenzpunkt so: Der Tripelpunkt des Wassers hat definitionsgemäß die thermodynamische Temperatur 273,16 K (Kelvin).

Diese Temperaturdefinition ist universell und substanzunabhängig im folgenden Sinn: Bis auf die Wahl des Temperatur-Referenzpunkts ist sie völlig unabhängig von der chemischen Zusammensetzung der verwendeten Substanzen und von der Bauart der Wärmekraftmaschine, solange diese nur reversibel und periodisch arbeitet. Ein (theoretisches) Beispiel für eine Wärmekraftmaschine, die für diese Temperaturdefinition verwendet werden kann, ist der Carnot-Prozess.

Herleitung aus dem allgemeinen Gasgesetz

Auch aus dem Verhalten idealer Gase kann auf die absolute Temperatur geschlossen werden.

Die absolute Temperatur kann dabei als Grenzwert dargestellt werden:

T=\lim_{p \to 0}\frac{p\cdot v}{R}

wobei p den Druck, v das Molvolumen und R die Gaskonstante bezeichnet. Der Grenzwert Druck gegen Null zeigen die Gasteilchen keine Wechselwirkung mehr untereinander, was man auch als ein ideales Gas bezeichnet.

Logische Konsistenz der Temperaturdefinition

Die logische Konsistenz dieser Temperaturdefinition ist eine Folge des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. Es gilt nämlich:

  • Zwei reversibel und periodisch arbeitende Wärmekraftmaschinen zwischen den gleichen Reservoirs A und B haben genau den gleichen Wirkungsgrad. Andernfalls könnte man nämlich die Wärmekraftmaschine mit dem geringeren Wirkungsgrad „rückwärts“ als Wärmepumpe betreiben, die Maschine mit dem höheren Wirkungsgrad jedoch vorwärts, und zwar so, dass in der Bilanz dem Reservoir B gleich viel Wärme zugeführt wie entnommen wird. Dann hätte man insgesamt eine periodisch arbeitende Maschine, die nur dem Reservoir A Wärme entnimmt, daraus mechanische Arbeit gewinnt, jedoch Reservoir B unverändert lässt. Das wäre ein Perpetuum Mobile zweiter Art, das nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik nicht existiert.
  • Betrachten wir drei Reservoirs A, B und C, jedes für sich im thermischen Gleichgewicht. Obige Definition liefert dann drei Temperaturquotienten TA / TB, TB / TC und TA / TC. Damit die Temperaturdefinition widerspruchsfrei ist, muss die folgende Konsistenzbedingung gelten:
\frac{T_A}{T_B}\cdot\frac{T_B}{T_C}=\frac{T_A}{T_C}
Lassen wir nun eine erste Wärmekraftmaschine zwischen A und B und eine zweite Wärmekraftmaschine zwischen B und C operieren. Die erste Maschine entnehme dem Reservoir A eine Wärmemenge QA und führe dem Reservoir B die Abwärme QB zu. Die zweite Maschine entnehme dem Reservoir B genau die gleiche Wärmemenge QB und führe dem Reservoir C die Abwärme QC zu. In der Bilanz wird also dem Reservoir B gleich viel Wärme zugeführt wie entnommen. Das System aus beiden Maschinen kann damit als eine Wärmekraftmaschine zwischen A und C aufgefasst werden. Aus der Gleichung
\frac{Q_A}{Q_B}\cdot\frac{Q_B}{Q_C}=\frac{Q_A}{Q_C}
folgt mit Hilfe der Definition der Temperaturquotienten die obige Konsistenzbedingung.

Die Temperatur in der Statistischen Mechanik

Eng verwandt mit diesem Begriff der Thermodynamischen Temperatur ist die Temperatur in der Statistischen Mechanik: Ein System der Statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T wird durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte  e^{-\frac{H}{k_{\rm B}T}}/Z beschrieben. Dabei bezeichnet H die Energiefunktion, also in der Klassischen Physik die Hamilton-Funktion, in der Quantenphysik den Hamilton-Operator. Weiter bezeichnet kB die Boltzmann-Konstante. Die Normierungskonstante Z wird Zustandssumme genannt. Der Term e^{-\frac{H}{k_{\rm B}T}} heißt Boltzmann-Faktor.

Scheinbare negative Werte

Allerdings finden negative absolute Temperaturen als rein rechnerisches Hilfsmittels durchaus Anwendung. So kann man zum Beispiel den Zustand einer Besetzungsinversion mit diesem Hilfsmittel recht einfach beschreiben. Dies ist allerdings nur möglich, da es sich hier um keinen Zustand im thermodynamischen Gleichgewicht handelt.

Logarithmische Skala

Rudolf Plank schlägt im „Handbuch der Kältetechnik“ alternativ eine logarithmische Temperaturskala vor, bei der keine „tiefst mögliche“ Temperatur auftritt. Der Nullpunkt entspricht dem Schmelzpunkt des Eises. Darunter erstrecken sich die Minusgrade bis minus unendlich.

Literatur

  • Rudolf Plank: Handbuch der Kältetechnik, Band 2, Thermodynamische Grundlagen, Springer-Verlag 1953

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