Planck-Einheiten

Die Planck-Einheiten, benannt nach Max Planck, bilden ein natürliches Einheitensystem. Sie werden aus drei Naturkonstanten hergeleitet, nämlich der Gravitationskonstanten G, der Lichtgeschwindigkeit c und dem planckschen Wirkungsquantum h, und markieren eine Grenze der Anwendbarkeit der bekannten Naturgesetze (siehe Planck-Skala).

Allgemeines

Ein System „natürlicher Einheiten“ beruht darauf, dass z. B. für Zeit und Länge nicht zwei verschiedene Maßeinheiten gebraucht werden, da eine natürliche Äquivalenz, in diesem Fall durch die Lichtausbreitung, besteht. Auch das SI-Einheitensystem benutzt seit 1983 die Lichtgeschwindigkeit zur Definition des Meters, indem es den Wert der Lichtgeschwindigkeit zu 299.792.458 m/s festsetzt. Durch die Weiterverwendung getrennter Maßeinheiten und dieses Zahlenwerts bleibt es aber in der Tradition älterer Maßsysteme. Setzt man hingegen die Lichtgeschwindigkeit zu 1, vereinfachen sich die grundlegenden physikalischen Formeln, jedoch werden die Bedürfnisse des täglichen Lebens für leicht handhabbare Einheiten schlechter erfüllt.

In der Quantenphysik werden oft die Lichtgeschwindigkeit c und das „reduzierte“ Plancksche Wirkungsquantum $\hbar$ auf den Wert 1 gesetzt, wodurch nur eine Maßeinheit übrig bleibt. Durch die entsprechende Umrechnung lassen sich dann Längen, Zeiten, Energien und Massen sämtlich z. B. in eV ausdrücken.

In der allgemeinen Relativitätstheorie und insbesondere in der Kosmologie hingegen vereinfachen sich die Formeln, wenn Lichtgeschwindigkeit und Gravitationskonstante zu 1 gesetzt werden, das ist das sogenannte geometrische Einheitensystem. Gelegentlich wird allerdings auch die Konvention 8πG = 1 benutzt.

Die Planck-Einheiten vereinigen diese Ansätze und stellen damit das natürliche Einheitensystem der Quantengravitation dar.

Definitionen

Grundgrößen

Die Planck-Einheiten ergeben sich aus einer einfachen Dimensionsbetrachtung, das heißt einer Suche nach einem mathematischen Ausdruck von der Dimension einer Länge, Zeit bzw. Masse, der nur Produkte und Quotienten von geeigneten Potenzen von G, c und $\hbar$ enthält. Benutzt man zusätzlich die elektrische Permittivität des Vakuums $4 \pi \epsilon_0$ und die Boltzmann-Konstante k, so lassen sich außerdem eine Planck-Ladung und eine Planck-Temperatur als weitere Grundgrößen bestimmen.

Name	Größe	Dimension	Term	Ungefähres SI-Äquivalent	Andere Äquivalente
Planck-Masse	Masse	M	$m_{\rm P} = \sqrt{\hbar c/G}$	2,17651 · 10−8 kg [1]	1,311 · 1019 u
Planck-Länge	Länge	L	$l_{\rm P} = \sqrt{\hbar G/c^3}$	1,616199 · 10−35 m [2]	3,054 · 10−25 a0
Planck-Zeit	Zeit	T	$\!\,t_{\rm P} = l_{\rm P}/c$	5,39106 · 10−44 s [3]
Planck-Ladung	Ladung	Q	$q_{\rm P} = \sqrt{\hbar c 4 \pi \epsilon_0}$	1,8755459 · 10−18 C	11,70624 e
Planck-Temperatur	Temperatur	Θ	$\!\,T_{\rm P} = m_{\rm P}c^2/k$	1,416833 · 1032 K [4]

wobei

• c = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
• G = Gravitationskonstante
• $\hbar$ = reduziertes plancksches Wirkungsquantum, das als $\hbar\ = \frac{h}{2\pi}$ definiert ist
• $l_{\rm P} =\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}$
• k = Boltzmann-Konstante
• m_P = Planck-Masse

ist. Statt $\,G$ wird manchmal $\,8\pi G$ zu Eins gesetzt, dann ergibt sich als Masseeinheit die reduzierte Planck-Masse:

$\overline{m_{\rm P}} = \sqrt{\frac{\hbar c}{8\pi G}} \approx 4{,}340 \, \mathrm{\mu g}$

Abgeleitete Größen

Neben diesen fünf Grundgrößen werden auch folgende abgeleitete Größen verwendet:

Name	Größe	Dimension	Term	Ungefähres SI Äquivalent
Planck-Energie	Energie	ML2T −2	$E_{\rm P} = m_{\rm P} c^2 = \frac{\hbar}{t_{\rm P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}}$	1,9561 · 109 J (= 1,2209 · 1028eV)
Planck-Impuls	Impuls	MLT −1	$m_{\rm P} c = \frac{\hbar}{l_{\rm P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}}$	6,52485 kg m·s-1
Planck-Kraft	Kraft	MLT −2	$F_{\rm P} = \frac{E_{\rm P}}{l_{\rm P}} = \frac{\hbar}{l_{\rm P} t_{\rm P}} = \frac{c^4}{G}$	1,21027 · 1044 N
Planck-Leistung	Leistung	ML2T −3	$P_{\rm P} = \frac{E_{\rm P}}{t_{\rm P}} = \frac{\hbar}{t_{\rm P}^2} = \frac{c^5}{G}$	3,62831 · 1052 W
Planck-Dichte	Dichte	ML −3	$\rho_{\rm P} = \frac{m_{\rm P}}{l_{\rm P}^3} = \frac{\hbar t_{\rm P}}{l_{\rm P}^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2}$	5,15500 · 1096 kg·m-3
Planck-Kreisfrequenz	Frequenz	T −1	$\omega_{\rm P} = \frac{1}{t_{\rm P}} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}$	1,85487 · 1043 s−1
Planck-Druck	Druck	ML−1T −2	$p_{\rm P} = \frac{F_{\rm P}}{l_{\rm P}^2} = \frac{\hbar}{l_{\rm P}^3 t_{\rm P}} =\frac{c^7}{\hbar G^2}$	4,63309 · 10113 Pa
Planck-Strom	Elektrischer Strom	QT −1	$I_{\rm P} = \frac{q_{\rm P}}{t_{\rm P}} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \epsilon_0}{G}}$	3,4789 · 1025 A
Planck-Spannung	Elektrische Spannung	ML2T −2Q −1	$V_{\rm P} = \frac{E_{\rm P}}{q_{\rm P}} = \frac{\hbar}{t_{\rm P} q_{\rm P}} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \epsilon_0} }$	1,04295 · 1027 V
Planck-Impedanz	Widerstand	ML2T −1Q −2	$Z_{\rm P} = \frac{V_{\rm P}}{I_{\rm P}} = \frac{\hbar}{q_{\rm P}^2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi}$	29,9792458 Ω
Planck-Beschleunigung	Beschleunigung	LT −2	$g_{\rm P} = \frac{F_{\rm P}}{m_{\rm P}} = \sqrt{\frac{c^7}{\hbar G}}$	5,56 · 1051 m·s-2

Die Planck-Fläche $l_{\rm P}^2$ spielt insbesondere in Stringtheorien und bei Überlegungen zur Entropie Schwarzer Löcher in Zusammenhang mit dem holografischen Prinzip eine wichtige Rolle.

Geschichte

Ende des 19. Jahrhunderts entdeckte Planck bei seinen Untersuchungen zur Theorie der Strahlung Schwarzer Körper, für die er zwei Jahrzehnte später den Nobelpreis für Physik erhielt, die letzte zur Definition der Planck-Einheiten erforderliche Naturkonstante, das später nach ihm benannte Wirkungsquantum. Er erkannte die Möglichkeit, damit ein universell gültiges System von Einheiten zu definieren und erwähnte diese in einem Vortrag „Über irreversible Strahlungsvorgänge“ (publiziert in Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Band 5, S. 479, 1899). Das folgende Zitat vermittelt einen Eindruck von dem Stellenwert, den Planck diesen Einheiten einräumte^[5]

„… ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als ‚natürliche Maaßeinheiten‘ bezeichnet werden können …“

– Max Planck

Obwohl Planck diesem Einheitensystem ein Kapitel seines 1906 erschienen Buches „Theorie der Wärmestrahlung“ widmete und dieses Thema auch später wieder aufgriff, wurde es auch innerhalb der Physik nicht verwendet. Den Nachteilen, dass für die Verwendung in einem Maßsystem der Wert der Gravitationskonstanten nicht genau genug bekannt war (und noch ist), und dass praxisrelevante Größen, in seinen Einheiten ausgedrückt, absurde Zahlenwerte hätten, stand kein Vorteil gegenüber, da in keiner physikalischen Theorie gleichzeitig das Wirkungsquantum und die Gravitationskonstante auftauchte.

Erst nach ersten Arbeiten zur Vereinigung von Quantentheorie und Gravitation in den späten 1930ern entstand das spätere Anwendungsgebiet der Planck-Einheiten. Als John Archibald Wheeler und Oskar Klein 1955 über die Planck-Länge als Grenze der Anwendbarkeit der Allgemeinen Relativitätstheorie veröffentlichten, war Plancks Vorschlag schon fast vergessen. Nach der „Wiederentdeckung“ der Planckschen Vorschläge für ein solches Maßsystem wurde dann ab 1957 der Name Planck-Einheiten gebräuchlich.

Allerdings unterscheiden sich die heute üblichen Planck-Einheiten um den Faktor $\sqrt{2 \pi}$ von Plancks ursprünglichen Einheiten, da sich im Zuge der Entwicklung der Quantenmechanik gezeigt hat, dass $\hbar = \frac {h}{2\pi}$ die praktischere natürliche Einheit ist.

Heutige Bedeutung

Formuliert man Gleichungen, die die Naturkonstanten G, c und $\hbar$ enthalten, in Planck-Einheiten, so können die Konstanten entfallen. Dies vereinfacht in bestimmten Disziplinen der theoretischen Physik die Gleichungen erheblich, etwa in der allgemeinen Relativitätstheorie, in den Quantenfeldtheorien und in den verschiedenen Ansätzen für eine Quantengravitation.

Die Planck-Einheiten ermöglichen auch eine alternative Sichtweise auf die fundamentalen Kräfte der Natur, deren Stärke im SI-System durch sehr unterschiedliche Kopplungskonstanten beschrieben wird. Bei Verwendung der Planck-Einheiten stellt sich die Situation wie folgt dar: Zwischen zwei Partikeln, die genau die Planckmasse und die Planckladung besitzen, wären die Gravitationskraft und die elektromagnetische Kraft exakt gleich groß. Die unterschiedliche Stärke dieser Kräfte in unserer Welt ist die Folge davon, dass ein Proton bzw. ein Elektron eine Ladung von etwa 0,085 Planckladungen besitzt, während ihre Massen um 19 bzw. 22 Größenordnungen kleiner als die Planckmasse sind. Die Frage: "Warum ist die Gravitation so schwach?" ist also äquivalent zu der Frage: "Warum haben die Elementarteilchen so geringe Massen?".

Verschiedene Physiker und Kosmologen befass(t)en sich mit der Frage, ob wir es bemerken könnten, wenn sich dimensionale physikalische Konstanten geringfügig ändern würden, und wie die Welt bei größeren Änderungen aussähe. Solche Spekulationen werden u.a. bei der Lichtgeschwindigkeit c und der Gravitationskonstanten G angestellt, letztere schon seit etwa 1900 in der Expansionstheorie der Erde.

Der Atomphysiker George Gamow meint in seinem populärwissenschaftlichen Buch Mr.Tompkins im Wunderland, dass eine Änderung von c deutliche Änderungen zur Folge hätte.

Weblinks

• Was ist die Planck-Welt? aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri

Einzelnachweise

1. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 21. Juni 2011.  Wert für die Planck-Masse
2. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 21. Juni 2011.  Wert für die Planck-Länge
3. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 21. Juni 2011.  Wert für die Planck-Zeit
4. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 21. Juni 2011.  Wert für die Planck-Temperatur
5. ↑ http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=10-sitz/1899-1&seite:int=493