Widerstandsmoment

Beanspruchung und Wirkung der Widerstandsmomente

Das Widerstandsmoment ist in der technischen Mechanik ein gebräuchliches Maß für den Widerstand, den ein Körper mit gegebenem Querschnitt einer bestimmten Belastung entgegensetzt:

• das axiale Widerstandsmoment oder Biegewiderstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand gegen Biegung (Balken 1, 2 im Bild).
• das polare Widerstandsmoment oder Torsionswiderstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand gegen Torsion (Balken 4 im Bild).

Das Widerstandsmoment wird im Ingenieurwesen verwendet, um die maximale Biege- oder Torsionsbeanspruchbarkeit von Bauteilen zu ermitteln, u.a. zur statischen Berechnung von Trägern nach der Balkentheorie erster Ordnung. Es ist üblicherweise in technischen Tabellen von Profilen zu finden.

Grundlagen

Bei Kräften senkrecht zu einer Bezugsachse will die Kraft den Körper, sofern ein Hebel vorhanden, um diese Achse drehen. Wird die Drehung durch Einspannung verhindert, entsteht ein Biege- oder Torsionsmoment. Widerstandmomente werden immer in Bezug auf die jeweilige Momentenachse berechnet.

Berechnung aus den Flächenträgheitsmomenten

Das Widerstandmoment ergibt sich allein aus der Geometrie der Querschnittsfläche.
Zu seiner Ermittlung muss die Lage der neutralen Faser im Querschnitt bekannt sein. Dies ist die Linie, in der bei reiner Biegung weder Druck- noch Zugspannungen auftreten (gestrichelte Mittellinien 1 und 2 im Bild). Von dieser Linie muss der maximale senkrechte Abstand zum Querschnittsrand und damit zur Randfaser bestimmt werden, wo die gesuchten maximalen Spannungen / Bauteilbelastungen auftreten.
Das Widerstandmoment ist der Quotient aus dem Flächenträgheitsmoment und dem Abstand der Randfaser von der neutralen (spannungsfreien) Faser:

$W = \frac{I}{a_{max} }$;      [W] = m³

mit:

I: axiales, biaxiales oder polares Flächenmoment 2. Grades (Flächenträgheitsmoment)

a_max: größter Abstand der Randfaser zur neutralen Faser

Für symmetrische Querschnitte sind die Widerstandsmomente in den Randfasern parallel zur Symmetrieachse gleich. Deshalb sind auch die Spannungen in diesen Fasern gleich, wenn die Biegekräfte senkrecht zu dieser Symmetrieachse wirken.

Anwendung

Die in den Randfasern auftretenden maximalen Spannungen ermittelt man für Momente um die Bezugsachse durch:

$\sigma_{max} = \frac{M_b}{W_{ax}} , \qquad \tau_{max} = \frac{M_t}{W_{p}}$

σ_max: Maximale Normalspannung

τ_max: Tangentialspannung (Schubspannung)

M_b: Biegemoment

M_t: Torsionsmoment

W_ax: axiales Widerstandsmoment

W_p: polares Widerstandsmoment

Beispiele (axiales Widerstandsmoment)

• Rechteck

Für ein Rechteck mit der Breite b parallel zur y-Achse und der Höhe h ist das Widerstandsmoment bezüglich der Horizontalachse

$W_{y} = {bh^2 \over 6}$

Für dasselbe Rechteck ist das Widerstandsmoment bezüglich der Vertikalachse

$W_{z} = {b^2h \over 6}$

• Quadrat

für ein Quadrat mit der Seitenlänge a = b = h vereinfacht sich das Widerstandsmoment zu

$W_{y}=W_{z} = {a^3 \over 6}$

Anmerkung: Für nicht kreisförmige Querschnitte können die polaren Widerstandsmomente berechnet werden. Sie besitzen jedoch keinerlei praktische Bedeutung, da die Verteilung der Torsionsspannung für derartige Querschnitte völlig anderen Gesetzen unterliegt.

• Kreis

Für einen Kreis mit Durchmesser D

$W_{ax} = {\pi \over 32} D^3$

$W_{p} = {2 \cdot{\pi \over 32}} D^3 = {\pi \over 16} D^3$

• Kreisring

Für einen Kreisring mit Außendurchmesser D und Innendurchmesser d ist das Widerstandsmoment

$W_{ax} = {\pi \over 32}\cdot {(D^4 - d^4) \over D}$

$W_{p} = {2 \cdot{\pi \over 32}}\cdot {(D^4 - d^4) \over D} = {\pi \over 16}\cdot {(D^4 - d^4) \over D}$

• Trapez

Für ein Trapez mit der Basis B parallel zur y-Achse und der Höhe h

$W_{o} = {h^2(B^2+4Bb+b^2) \over 12(2B+b)} = W_{min}$

$W_{u} = {h^2(B^2+4Bb+b^2) \over 12(B+2b)}$

• Hohlprofil (Rechteckrohr)

Für ein Rechteckrohr (Vierkantrohr) mit der Außenbreite/-Höhe B und H und der Innenbreite b und h

Das Profil muss symmetrisch sein, d.h. die gegenüberliegenden Wandstärken müssen gleich groß sein

$W_{y} = {BH^3-bh^3 \over 6H}$

$W_{z} = {B^3H-b^3h \over 6B}$

Siehe auch

• Statisches Moment
• Trägheitsmoment
• Spannungstrapezverfahren
• Festigkeitslehre