- Hexakisikosaeder
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Das Hexakisikosaeder oder Disdyakistriakontaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 120 unregelmäßigen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Ikosidodekaederstumpf und hat 62 Ecken sowie 180 Kanten.
Inhaltsverzeichnis
Entstehung
Rhombendodekaeder als Basis
Werden auf alle 30 Begrenzungsflächen eines Rhombentriakontaeders (mit Kantenlänge a) Pyramiden mit den Flankenlängen b und c (< b) aufgesetzt, entsteht ein Hexakisikosaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:
- Für den zuvor genannten minimalen Wert von b haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Rhombentriakontaeder mit der Kantenlänge a übrig bleibt.
- Das spezielle Hexakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten a und b entsteht, wenn ist.
- Nimmt b den zuvor genannten maximalen Wert an, entarted das Hexakisikosaeder zu einem Deltoidalhexakontaeder mit den Kantenlängen a und b.
- Überschreitet b den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex.
Ikosidodekaederstumpf als Basis
Durch Verbinden der Mittelpunkte dreier Kanten, die in jeder Raumecke des abgestumpften Ikosidodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Dreieck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Dreiecks, der Begrenzungsfläche des Hexakisikosaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 165°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.
Sei d die Kantenlänge des Ikosidodekaederstumpfs, so sind die resultierenden Seitenlängen des Dreiecks gegeben durch
Formeln
Im folgenden bezeichne a die jeweils längste Kante des Hexakisikosaeders.
Rhombisch
Basis ist das Rhombentriakontaeder (mit Kantenlänge a).
Allgemein
Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlängen a, b Volumen Oberflächeninhalt Pyramidenhöhe Inkugelradius Flächenwinkel
(über Kante a)Flächenwinkel
(über Kante b)Flächenwinkel
(über Kante c)Größen des Dreiecks Flächeninhalt 3. Kantenlänge 1. Winkel 2. Winkel 3. Winkel Speziell
Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlänge a Volumen Oberflächeninhalt Inkugelradius Flächenwinkel
(ü. Kanten a, b) ≈ 163,47°Flächenwinkel
(ü. Kante c) ≈ 169,8°Größen des Dreiecks Flächeninhalt 2. Seitenlänge 3. Seitenlänge 1. Winkel
≈ 89,26°2. Winkel
≈ 58,65°3. Winkel
≈ 32,09°Regulär
Basis ist das abgestumpfte Ikosidodekaeder (dualer archimedischer Körper).
Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlänge a Volumen Oberflächeninhalt Inkugelradius Kantenkugelradius Flächenwinkel
≈ 164,89°Größen des Dreiecks Flächeninhalt 2. Seitenlänge 3. Seitenlänge 1. Winkel
≈ 88,99°2. Winkel
≈ 58,24°3. Winkel
≈ 32,77°Weblinks
- Eric W. Weisstein: Disdyakistriakontaeder. In: MathWorld. (englisch)
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