Hexakisoktaeder

3D-Ansicht eines Hexakisoktaeders (Animation)

Netz des Hexakisoktaeders

Das Hexakisoktaeder oder Disdyakisdodekaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 48 unregelmäßigen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Kuboktaederstumpf und hat 26 Ecken sowie 72 Kanten.

Entstehung

Rhombendodekaeder als Basis

Werden auf alle 12 Begrenzungsflächen eines Rhombendodekaeders (Kantenlänge a) Pyramiden mit den Flankenlängen b und c (< b) aufgesetzt, entsteht ein Hexakisoktaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

$\tfrac{a}{3} \sqrt{6} < b < \tfrac{2}{9}a \sqrt{15}$

• Für den o. g. minimalen Wert von b haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Rhombendodekaeder mit der Kantenlänge a übrig bleibt.

• Das spezielle Hexakisoktaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten a und b entsteht, wenn $b = 2a \, (\sqrt{2} - 1)$ ist.

• Nimmt b den zuvor genannten maximalen Wert an, entarted das Hexakisoktaeder zu einem Deltoidalikositetraeder mit den Kantenlängen a und b.

• Überschreitet b den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex.

Kuboktaederstumpf als Basis

Konstruktion des Dreiecks am Kuboktaederstumpf

Durch Verbinden der Mittelpunkte dreier Kanten, die in jeder Raumecke des abgestumpften Kuboktaeders zusammenstoßen, entsteht ein Dreieck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Dreiecks, der Begrenzungsfläche des Hexakisoktaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 155°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Sei d die Kantenlänge des Kuboktaederstumpfs, so sind die resultierenden Seitenlängen des Dreiecks gegeben durch

$a = \, \frac{2}{7}\, d \, \sqrt{60 + 6\sqrt{2}}$

$b = \, \frac{3}{7}\, d \, \sqrt{12 + 6\sqrt{2}}$

$c = \, \frac{2}{7}\, d \, \sqrt{30 - 3\sqrt{2}}$

Formeln

Im folgenden bezeichne a die jeweils längste Kante des Hexakisoktaeders.

Rhombisch

Basis ist das Rhombendodekaeder (mit Kantenlänge a).

Allgemein

Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlängen a, b Volumen $V = \frac{8}{9} a^2 \sqrt{3} \left(2a + \sqrt{6b^2 - 4a^2}\right)$ Oberflächeninhalt $O = 8a \, \sqrt{9b^2 - 4a^2}$ Pyramidenhöhe $k = \frac{1}{3} \sqrt{9b^2 - 6a^2}$ Inkugelradius $\rho \, = \frac{a\,(2a + \sqrt{6b^2 - 4a^2})} {\sqrt{27b^2 - 12a^2}}$ Flächenwinkel  (über Kante a) $\cos \, \alpha_1 = \frac{9b^2 - 2a\,(4a +3\sqrt{6b^2 - a^2})} {18b^2 - 8a^2}$ Flächenwinkel  (über Kante b) $\cos \, \alpha_2 = \frac{3b^2 - 4a^2} {9b^2 - 4a^2}$ Flächenwinkel  (über Kante c) $\cos \, \alpha_3 = \frac{3b^2} {4a^2 - 9b^2}$

Größen des Dreiecks Flächeninhalt $A = \frac{a}{6} \, \sqrt{9b^2 - 4a^2}$ 3. Seitenlänge $c = \frac{1}{3} \sqrt{9b^2 - 3a^2}$ 1. Winkel $\sin \, \alpha = \frac{a}{b} \, \sqrt{\frac{9b^2 - 4a^2} {9b^2 - 3a^2}}$ 2. Winkel $\sin \, \beta = \sqrt{\frac{9b^2 - 4a^2} {9b^2 - 3a^2}}$ 3. Winkel $\sin \, \gamma = \frac{\sqrt{9b^2 - 4a^2}}{3b}$

Speziell

Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge a Volumen $V = \frac{32}{9}a^3 \sqrt{3}\, (2 - \sqrt{2})$ Oberflächeninhalt $O = 16a^2 \sqrt{26 - 18\sqrt{2}}$ Inkugelradius $\rho = 2a\, \sqrt{\frac{3 + \sqrt{2}} {21}}$ Flächenwinkel  (ü. Kanten a, b) ≈ 153,1° $\cos \, \alpha_{1,\,2} = -\frac{1}{7}\, (2 + 3\sqrt{2})$ Flächenwinkel  (ü. Kante c) ≈ 161,07° $\cos \, \alpha_3 = -\frac{3}{14}\, (3 + \sqrt{2})$

Größen des Dreiecks Flächeninhalt $A = \frac{a^2}{3} \sqrt{26 - 18\sqrt{2}}$ 2. Seitenlänge $b = 2a \, (\sqrt{2} - 1)$ 3. Seitenlänge $c = a \, \sqrt{\frac{35 - 24\sqrt{2}}{3}}$ 1. Winkel  ≈ 87,7° $\sin \, \alpha = \, 2 \, \sqrt{\frac{57 + 37\sqrt{2}}{438}}$ 2. Winkel  ≈ 55,9° $\sin \, \beta = \, 4 \, \sqrt{\frac{23 - 3\sqrt{2}}{438}}$ 3. Winkel  ≈ 36,4° $\sin \, \gamma = \, \frac{1}{3} \sqrt{6 - 2\sqrt{2}}$

Regulär

Basis ist das abgestumpfte Kuboktaeder (dualer archimedischer Körper).

Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge a Volumen $V = \frac{a^3}{28} \, \sqrt{6\,(986 + 607\sqrt{2})}$ Oberflächeninhalt $O = \frac{3}{7} \, a^2 \, \sqrt{543 + 176\sqrt{2}}$ Inkugelradius $\rho = \frac{a}{2} \, \sqrt{\frac{402 + 195\sqrt{2}} {194}}$ Kantenkugelradius $r = \frac{a}{4} \, (1 + 2\sqrt{2})$ Flächenwinkel  ≈ 155,08° $\cos \, \alpha = -\frac{1}{97}\, (71 + 12\sqrt{2})$

Größen des Dreiecks Flächeninhalt $A = \frac{a^2}{112} \, \sqrt{543 + 176\sqrt{2}}$ 2. Seitenlänge $b = \, \frac{3}{14} \, a \, (1 + 2\sqrt{2})$ 3. Seitenlänge $c = \, \frac{a}{14} \, (10 - \sqrt{2})$ 1. Winkel  ≈ 87,2° $\cos \, \alpha = \, \frac{1}{12} \, (2 - \sqrt{2})$ 2. Winkel  ≈ 55,0° $\cos \, \beta = \, \frac{1}{8} \, (6 - \sqrt{2})$ 3. Winkel  ≈ 37,8° $\cos \, \gamma = \, \frac{1}{12} \, (1 + 6\sqrt{2})$

Vorkommen

• Das Hexakisoktaeder ist die Form des regulären Kristallsystems, in welcher z. B. der Diamant kristallisiert.^[1]

• Zur Anwendung kommt das Hexakisoktaeder auch als Spielwürfel (W48).

Einzelnachweise

1. ↑ http://www.zeno.org/Brockhaus-1911/A/Hexakisoktaeder

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Reguläres Disdyakisdodekaeder. In: MathWorld. (englisch)
• 3D-Animation eines rhombischen Hexakisoktaeders im Mineralienatlas

Platonische Körper

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