Immersierte Mannigfaltigkeit

Eine immersierte Mannigfaltigkeit oder immersierte Untermannigfaltigkeit ist ein Objekte aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie. Seltener wird dieses Objekt auch immergierte Mannigfaltigkeit^[1] genannt, im Englischen spricht man meistens von einer immersed submanifold.

Hat man eine differenzierbare Abbildung $f : S \to M$ zwischen zwei Mannigfaltigkeiten, so ist das Bild f(S) im Allgemeinen keine Untermannigfaltigkeit von M. Falls die Ableitung von f jedoch injektiv ist, ist f(S) eine Mannigfaltigkeit, die aber keine (eingebettete) Untermannigfaltigkeit von M sein muss. Dieses Objekt wird immersierte Mannigfaltigkeit genannt.

Definition

Seien S und M differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Dann ist eine immersierte Mannigfaltigkeit von M das Bild $\tilde S := \psi(S)$ der Immersion $\psi \colon S \to M$. Die Topologie auf $\tilde{S}$ muss so gewählt werden, dass ψ stetig ist. Oftmals wird noch gefordert, dass die Immersion ψ injektiv sein muss.^[2]

Als Menge ist $\tilde S$ eine Teilmenge von M, jedoch ist es im Allgemeinen keine Untermannigfaltigkeit von M. Das heißt, die Topologie von $\tilde{S}$ entspricht hier auch nicht der Teilraumtopologie und insbesondere sind auch die differenzierbaren Strukturen von $\tilde{S}$ und M nicht kompatibel. Ist jedoch $\psi : S \hookrightarrow M$ eine differenzierbare Einbettung, so ist $\tilde{S}$ eine echte Untermannigfaltigkeit.

Unterscheidung zur Untermannigfaltigkeit

Es gibt zwei Gründe, aus denen die immersierte Mannigfaltigkeit keine Untermannigfaltigkeit sein muss:

• Die Immersion ψ ist nicht injektiv, die Immersion schneidet sich selbst. (s. Abbildung 1)
• Selbst wenn die Immersion ψ injektiv ist, kann es sein, dass die Abbildung kein Homöomorphismus ist, da das Bild offener Enden inneren Punkten von $\tilde S$ beliebig nahe kommen kann, so dass die Topologie von $\tilde S$ nicht mit der von S übereinstimmt. (s. Abb. 2)

Abb. 1: Reelle Zahlengerade immersiv abgebildet in die Ebene mit Selbstschnitten

Abb. 2: Offenes Intervall injektiv und immersiv abgebildet, so dass die offenen Enden auf die mit Pfeilen markierten Enden abgebildet werden

Beispiel

• Die Kurve $\gamma \colon ]- \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3 \pi}{2}[ \to \R^2$, die durch $t \mapsto (\sin(2t), \cos(t))$ definiert ist, ist eine injektive Immersion. Daher ist ihr Bild eine immersierte Mannigfaltigkeit.
• Eine Lie-Gruppe ist sowohl eine algebraische Gruppe also auch eine glatte Mannigfaltigkeit, wobei die beiden Strukturen miteinander verträglich sind. Eine Lie-Untergruppe ist eine Untergruppe der Lie-Gruppe, die ebenfalls wieder die Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit trägt, die mit der Gruppenstruktur verträglich ist. Diese Lie-Untergruppe ist im Allgemeinen keine Untermannigfaltigkeit aber eine immersierte (Unter)Mannigfaltigkeit, wobei die Immersion injektiv ist.

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. 2. Band 2. korrigierte Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel u. a. 2006, ISBN 3-7643-7105-6 (Grundstudium Mathematik).

Einzelnachweise

1. ↑ Stefan Hildebrandt: Analysis 2, Springer, 2003, ISBN 3540439706
2. ↑ John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228, Seite 15