Gamma-Gamma-Verteilung

Die Gamma-Gamma-Verteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, die in der Bayesschen Statistik und in der Inferenztheorie eine wichtige Rolle spielt, da es sich um eine Mischverteilung handelt.

Die Dichtefunktion der Gamma-Gamma-Verteilung Gg(α, β, δ) ist bei α β, δ > 0

$f(x) = \frac{\beta^\alpha}{B(\alpha,\delta)} \frac{x^{\delta-1}}{(\beta+x)^{\alpha+\delta}}$

wobei B(α, β) die Eulersche Betafunktion ist.

Der Erwartungswert ist

$E(X) = \frac{\delta \beta}{\alpha -1}$, für α>1

und die Varianz

$Var(X) = \frac{\beta^2 \delta (\delta + \alpha -1)}{(\alpha-1)^2 (\alpha-2)}=E(X)^2 \frac{1+\frac{\alpha-1}{\delta}}{\alpha-2}$, für α>2

Der Modalwert ist

$Mod(X) = \frac{\beta\ (\delta -1 )}{\alpha + 1 }$, für δ>1

Sonderfall δ=1

Falls δ=1, dann ist die Dichtefunktion

$f(x|\delta=1)=\frac{\alpha}{\beta+x} \left(\frac{\beta}{\beta+x}\right)^\alpha$

Da G(1,λ)=Exp(λ) wendet man diesen Sonderfall an der Exponentialverteilung, mit gammaverteiltem G(α,β) Parameter λ.

Sonderfall β=1: Beta-prime-Verteilung

Eine Gamma-Gamma-Verteilung Gg(α, β=1, δ) entspricht einer Beta-prime-Verteilung Bp(a=δ, b=α)

Beziehung zur Gammaverteilung

Ist der zweite Parameter ε der Gammaverteilung G(d,ε) eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung G(a,b) verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung G(a,b,d) verteilt.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Ist der Parameter λ der Exponentialverteilung Exp(λ) eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung G(a,b) verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung G(a,b,1) verteilt.

Literatur

• Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, unter Mitwirkung von Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2

Siehe auch

• Exponentialverteilung

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta