Gamma-Verteilung

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet

• in der Warteschlangentheorie, um die Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben.
• in der Versicherungsmathematik zur Modellierung kleinerer bis mittlerer Schäden.

Definition

Die Gammaverteilung $\gamma(p,\, b)$ ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=\begin{cases} \frac{\displaystyle b^p}{\displaystyle\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$

definiert. Sie besitzt die reellen Parameter b und p. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird b > 0 und p > 0 gefordert.

Der Vorfaktor b^p / Γ(p) dient der korrekten Normierung; der Ausdruck Γ(p) steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.

Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion

$F(x)=\begin{cases} P(p,b x) & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$,

wobei $P(p,\,b x)$ die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit p und b findet man auch häufig die folgende:

$\alpha=p, \;\; \beta= \frac{1}{b}$.

Dichte und Momente ändern sich dabei dementsprechend (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise αβ). Da diese Parametrisierung vor allem im angelsächsischen Raum vorherrscht, wird sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert ab und Varianz ab² zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

f besitzt an der Stelle $x_M=\frac{p-1}{b}$ ihr Maximum und an den Stellen $x_W=x_M\pm \frac{(p-1)^\frac12}{b}$ Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

$\operatorname{E}(X)={p \over b} = \alpha\cdot\beta$

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist

$\operatorname{Var}(X)={p \over b^{2}} = \alpha \cdot \beta^{2}$

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

$\operatorname{v}(X) = \frac{2}{\sqrt{p}}$.

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen X und Y, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern b und p_x bzw. p_y, ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern b und p_x + p_y.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\phi_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-is}\right)^p$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

$m_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-s}\right)^p$.

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen

Sind $X_1\sim \gamma(p_1,b)\,$ und $X_2\sim \gamma(p_2,b)\,$ unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe X₁ + X₂ gammaverteilt, und zwar $X_1+X_2\sim\gamma(p_1+p_2,b)\,$.

Allgemein gilt: Sind $X_i\sim \gamma(p_i,b)\quad i=1,...,n$ stochastisch unabhängig dann ist $X_1+...+X_n\sim\gamma(p_1+...+p_n,b)\,$.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn die Zufallsvariablen X mit γ(a₁,b)und Y mit γ(a₂,b) Gamma-verteilt sind mit den Parametern a₁,a₂ und b, dann ist die Größe $\frac{X}{X+Y}$ Beta-verteilt mit

$B(a_1,a_2) = \frac{\gamma(a_1,b)}{\gamma(a_1,b)+\gamma(a_2,b)}$.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

• Die Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p = k / 2 und b = 1 / 2.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter λ und n Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern p = n und b = λ und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des p-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung

• Die Exponentialverteilung mit dem Parameter λ ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p = 1 und b = λ.
• Die Faltung von Exponentialverteilungen mit demselben λ ergibt eine Gamma-Verteilung.

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist X Gamma-verteilt, dann ist Y = e^X Log-Gamma-verteilt.

Literatur

• Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
• Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
• P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, Leipzig 1991

Weblinks

• siehe auch Lévy-Prozess, mit Bild von einem Gamma-Prozess
• Interaktives Applet der Universität Konstanz zum Darstellen der Gammaverteilung: http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-gamma.html
• Gerechnete Beweise: http://www.eisber.net/StatWiki/index.php/WS2_Zettel1#Gamma-Verteilung

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli-Verteilung | Binomialverteilung | Kategoriale | Hypergeometrische Verteilung | Rademacher | Zipfsche | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | Negative Binomialverteilung | Erweiterte negative Binomial | Compound Poisson | Diskret uniform | Discrete phase-type | Gauss-Kuzmin | Geometrische | Logarithmische | Parabolisch-fraktale | Poisson | Skellam | Yule-Simon | Zeta

 

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Kumaraswamy | Raised Cosine | Dreiecks | U-quadratisch | Stetige Gleichverteilung | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | F | Fermi-Dirac | Folded Normal | Fréchet | Gamma | Extremwert | Verallgemeinerte inverse Gausssche | Halblogistische | Halbnormale | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | Inverse Chi-Quadrat | Scale Inverse Chi-Quadrat | Inverse Normal | Inverse Gamma | Lévy | Log-normal | Log-logistische | Maxwell-Boltzmann | Maxwell speed | Nakagami | nichtzentrierte Chi-Quadrat | Pareto | Phase-type | Rayleigh | relativistische Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | Shifted Gompertz | Truncated Normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | Exponential Power | Fisher’s z | Fisher-Tippett (Gumbel) | Generalized Hyperbolic | Hyperbolic Secant | Landau | Laplace | Alpha stabile | logistisch | Normal (Gauss) | Normal-inverse Gausssche | Skew normal | Studentsche t | Type-1 Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

 

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Ewen's | Multinomial | Dirichlet Multinomial

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | Generalized Dirichlet | Multivariate Normal | Multivariate Student | Normalskalierte inverse Gamma | Normal-Gamma

Multivariate Matrixverteilungen:
Inverse-Wishart | Matrix Normal | Wishart