Ergodensatz

Der Ergodensatz ist ein wichtiger Satz der Stochastik. Er liefert eine Form des Gesetzes der großen Zahlen für abhängige Zufallsvariablen und liefert die mathematische Grundlage der Ergodenhypothese der statistischen Physik.

Formulierung des Ergodensatzes von Birkhoff

X sei eine integrierbare Zufallsgröße (d.h. sie besitzt einen endlichen Erwartungswert) und T eine maßerhaltende Transformation auf dem zu Grunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal A, P)$ (d. h. P(T ^{− 1}(A)) = P(A) für alle A in $\mathcal A$ ). Dann konvergieren die Mittel

${1 \over n} \sum_{i=1}^{n} X \circ T^{i-1} (\omega)$

für $n\to\infty$ fast sicher gegen eine Zufallsvariable Y.

Y kann dabei messbar bezüglich der von den T-invarianten Mengen A (d.h. T ^{− 1}(A) = A) erzeugten σ-Algebra $\mathcal T$ gewählt werden und lässt sich als bedingter Erwartungswert $E[X|\mathcal T]$ darstellen.

Wenn T ergodisch ist, so ist Y fast sicher konstant gleich dem Erwartungswert von X.

Das Beispiel eines stationären Prozesses

Die Zufallsvariablen $Y_i = X \circ T^{i-1}$ (i = 1,2,...) bilden einen stationären stochastischen Prozess, d.h. (Y₂,Y₃,...) ist so verteilt wie (Y₁,Y₂,...). Umgekehrt lässt sich jeder stationäre stochastische Prozess $(Y_i)_{i\ge1}$ in dieser Weise darstellen, wenn man annimmt, dass $\Omega = \R^{\{1,2,...\}}$ und Y_i von der Form Y_i(ω₁,ω₂,...) = ω_i ist. (Wenn dies nicht der Fall ist, kann man den Bildraum $\R^{\{1,2,...\}}$ mit dem Bildmaß von (Y₁,Y₂,...) anstelle von Ω und P betrachten.) Dabei ist X(ω₁,ω₂,...) = ω₁, und die "Verschiebeabbildung" Π, unter der (ω₁,ω₂,...) auf (ω₂,ω₃,...) abgebildet wird, ist die maßerhaltende Transformation.

Wenn die Y_i einen endlichen Erwartungswert haben, konvergiert nach dem Ergodensatz also

${1 \over n} \sum_{i=1}^{n} Y_i(\omega)$

für $n\to\infty$ fast sicher gegen eine Zufallsvariable Y. Y ist der bedingte Erwartungswert $E[Y_i|\mathcal T]$ eines jeden Y_i. Wenn Ergodizität vorliegt, ist Y fast sicher konstant, d.h.

${1 \over n} (Y_1 + ... + Y_n) \,\to\, E[Y_i]$    fast sicher   ($i\ge1$ beliebig).