Fisher-Tippett-Verteilung

Die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wie die Rossi-Verteilung und die Frechet-Verteilung gehört sie zu den Extremwertverteilungen.

Sie berechnet den in einem Zeitraum T zu erwartenden höchsten Messwert. Die Verteilung wird u.a. in folgenden Bereichen benutzt:

• Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten
• Verkehrsplanung
• Meteorologie (Wettervorhersage)
• Hydrologie

Definition

Eine stetige Zufallsgröße X genügt einer Fisher-Tippett-Verteilung mit den Parametern $a\in I\!\!R$ und b > 0, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)= \frac{1}{b}e^{-\frac{x-a}{b}}e^{-e^{-\frac{x-a}{b}}} = \frac{1}{b}e^{\frac{a-x}{b}-e^{\frac{a-x}{b}}}$

und damit die Verteilungsfunktion

$F(x)= e^{-e^{-\frac{x-a}{b}}}$

besitzt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Verteilung besitzt den Erwartungswert

$\operatorname{E}(X) = a+b\gamma$.

Dabei ist $\gamma \approx 0,5772$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

$\operatorname{Var}(X) = \frac{b^2\pi^{2}}{6}$.

Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung

$\sigma = \frac{b\pi}{\sqrt{6}}$.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Die Fisher-Tippett-Verteilung ergibt sich aus der allgemeinen Extremwertverteilung für c = 1. Ferner ist die Gumbel-Verteilung zur Fisher-Tippett-Verteilung äquivalent mit den speziellen Parametern a = 0 und b = 1.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Extreme Value Distribution auf MathWorld.