- Gumbel-Verteilung
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Die Gumbel-Verteilung oder Extremal–I–Verteilung ist als eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung eine der drei für die Extremwerttheorie wichtigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie wurde benannt nach Emil Julius Gumbel. Wie die Rossi-Verteilung und die Frechet-Verteilung gehört sie zu den Extremwertverteilungen, die den in einem Zeitraum T zu erwartenden höchsten Messwert berechnen.
Sie wird u.a. in folgenden Bereichen benutzt:
- Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten
- Verkehrsplanung
- Meteorologie (Wettervorhersage)
- Hydrologie
Die Gumbel–Verteilung ist eine typische Verteilungsfunktion für jährliche Serien. Sie kann nur auf Reihen angewendet werden, bei denen die Länge der Meßreihe mit dem Stichprobenumfang übereinstimmt. Ansonsten erhält man negative Logarithmen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Eine stetige Zufallsgröße X genügt einer Gumbel-Verteilung, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
und damit die Verteilungsfunktion
besitzt.
Eigenschaften
Erwartungswert
Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert
.
Dabei ist
die Euler-Mascheroni-Konstante.
Varianz
Die Varianz ergibt sich analog zu
.
Standardabweichung
Daraus erhält man für die Standardabweichung
.
Verallgemeinerung
Durch die affin-linearen Transformationen
erhält man eine ganze Klasse von Verteilungen, auch Fisher-Tippett-Verteilung genannt, mit den Eigenschaften
.
Beziehung zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Extremwertverteilung
Die Gumbel-Verteilung ergibt sich aus der Extremwertverteilung mit den Parametern a = 0, b = 1 und c = 1.
Beziehung zur Fisher-Tippett-Verteilung
Die Gumbel-Verteilung ist äquivalent zur Fisher-Tippett-Verteilung mit den Parametern a = 0 und b = 1.
Diskrete univariate VerteilungenDiskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-MandelbrotDiskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta
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