Graßmann Identität

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt $\vec a\times\vec b$ (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ im dreidimensionalen reellen Vektorraum ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet. Die Länge dieses Vektors ist die Flächengröße des Parallelogramms mit den Seiten $\vec a$ und $\vec b$.

Das Kreuzprodukt tritt in der Physik beispielsweise bei der Lorentzkraft oder dem Drehmoment auf.

Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben. Es gilt

$\vec{a}\times\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\, \left|\vec{b}\right|\, \sin\theta \, \vec{n}\,.$

Dabei sind $\vert\vec{a}\vert$ und $\vert\vec{b}\vert$ die Längen der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und $\sin \theta \,$ ist der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels θ. Der Vektor $\vec{n}$ ist der zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrechte Einheitsvektor, der sie zu einem Rechtssystem ergänzt. Das heißt, $\vec a\,,$ $\vec b$ und $\vec{a}\times\vec{b}$ verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand (Rechte-Hand-Regel).

Komponentenweise Berechnung

Für den euklidischen Raum $\R^3$ mit der Standardbasis gilt für das Kreuzprodukt:

$\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}\,.$

Ein Zahlenbeispiel:

$\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 \\ 3 \cdot (-7) - 1 \cdot 9 \\ 1 \cdot 8 - 2 \cdot (-7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -30 \\ 22 \end{pmatrix}\,.$

Das Kreuzprodukt ist symbolisch die Determinante der $3 \times 3$-Matrix, in deren ersten Spalte die Symbole $\vec e_1$, $\vec e_2$ und $\vec e_3$ für die kanonische Basis stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors $\vec a$ und die dritte von denen des Vektors $\vec b$ gebildet. Diese Determinante berechnet man nach der Regel von Sarrus:

$\begin{align} \det \begin{pmatrix}\vec e_1 & a_1 & b_1 \\ \vec e_2 & a_2 & b_2 \\ \vec e_3 & a_3 & b_3\end{pmatrix} &= \vec e_1 \cdot a_2 \cdot b_3 + a_1 \cdot b_2 \cdot \vec e_3 + b_1 \cdot \vec e_2 \cdot a_3 - \vec e_3 \cdot a_2 \cdot b_1 - a_3 \cdot b_2 \cdot \vec e_1 - b_3 \cdot \vec e_2 \cdot a_1 \\ &= (a_2 \,b_3 - a_3 \, b_2) \, \vec e_1 + (b_1 \, a_3 - a_1 \, b_3) \, \vec e_2 + (a_1 \, b_2 - \, a_2 \, b_1) \, \vec e_3 \,. \end{align}$

Mit dem Levi-Civita-Symbol $\varepsilon_{ijk}$ schreiben sich Komponenten als

$(\vec{a}\times\vec{b})_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k\,.$

Bilinearität, Antisymmetrie

Das Kreuzprodukt ist bilinear, für alle Zahlen $\alpha\,,$ β und γ und alle Vektoren $\vec a\,,$ $\vec b$ und $\vec c$ gilt

$\vec{a}\times(\beta \,\vec{b} + \gamma\, \vec{c}) = \beta \,(\vec{a}\times\vec{b}) + \gamma \,(\vec{a}\times\vec{c})\,,\ (\alpha\,\vec{a} + \beta\,\vec{b})\times\vec{c} = \alpha\,(\vec{a}\times\vec{c}) + \beta \,(\vec{b}\times\vec{c})\,.$

Da die Fläche jedes Parallelogramms verschwindet, das ein Vektor mit sich aufspannt,

$\vec{a}\times\vec{a} = 0\,,$

ist das Kreuzprodukt antisymmetrisch,

$0= (\vec{a} + \vec{b})\times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a}\times\vec{a} + \vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{a} + \vec{b}\times\vec{b} = 0 + \vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{a} + 0 \,,$

$\vec{a}\times\vec{b} = -\, \vec{b}\times\vec{a}\,.$

Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Das Kreuzprodukt ist antikommutativ oder schiefsymmetrisch.

Doppeltes Kreuzprodukt: Graßmann-Identität

Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ. Die Graßmann-Identität (nach Hermann Graßmann), auch Graßmannscher Entwicklungssatz genannt, für das wiederholte Kreuzprodukt von drei Vektoren, deren Komponenten kommutieren, lautet

$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}\,(\vec{a}\cdot\vec{b})\,.$

Sie heißt auch BAC-CAB-Formel, wobei der Name das Ergebnis ausspricht.

Handelt es sich bei den Komponenten der Vektoren um Operatoren oder Matrizen, dann gilt die Formel, falls die Reihenfolge der Operatoren unerheblich ist oder mit der Reihenfolge auf der linken Seite übereinstimmt.

Doppeltes Kreuzprodukt mit Nabla-Operatoren

Ist $\mathbf{B}$ der Nabla-Operator, so lässt sich der Graßmann'sche Entwicklungssatz nicht einfach übertragen, da Nabla stets nach rechts auf $\mathbf{C}$ wirkt (Notation im Folgenden: $\nabla_{\mathbf{C}}$ differenziert nur die Komponenten des Vektors $\mathbf{C}$ und $\nabla\mathbf{C}$ ist der Vektorgradient, also die Jacobi-Matrix von $\mathbf{C}$):

$\begin{array}{rcl} \mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{C}) & = & \nabla_{\mathbf{C}}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{C}=(\nabla\mathbf{C})\cdot\mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot(\nabla\mathbf{C})\\ & = & (\mbox{grad}\,\mathbf{C})\cdot\mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot\mbox{grad}\,\mathbf{C}\end{array}$

Daher gilt, falls $\mathbf{a}$ und $\mathbf{b}$ der Nabla-Operator und $\mathbf{c}$ ein Vektorfeld ist, in der Form:

$\begin{array}{rcl} \nabla\times(\nabla\times\mathbf{C}) & = & \nabla(\nabla\cdot\mathbf{C})-(\nabla\cdot\nabla)\mathbf{C}\\ & = & \mbox{grad}\,(\mbox{div}\,\mathbf{C})-(\mbox{div}\cdot\mbox{grad})\mathbf{C}\\ & = & \mbox{grad}\,(\mbox{div}\,\mathbf{C})-\Delta\,\mathbf{C}\end{array}$

Für die Rotation des Kreuzprodukts zweier Vektorfelder $\mathbf B$ und $\mathbf C$ gilt hingegen:

$\begin{array}{rcl} \nabla\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) & = & \mathbf{B}\,(\nabla\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}\,(\nabla\cdot\mathbf{B})+(\mathbf{C}\cdot\nabla)\mathbf{B}-(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{C}\\ & = & \mathbf{B}\,(\mbox{div}\,\mathbf{C})-\mathbf{C}\,(\mbox{div}\,\mathbf{B})+(\mathbf{C}\cdot\mbox{grad})\mathbf{B}-(\mathbf{B}\cdot\mbox{grad})\mathbf{C}\end{array}$

Die zusätzlichen Terme entstehen, weil die Ableitung eines Produktes nach der Produktregel zwei Terme ergibt.

Jacobi-Identität

Wenn die Komponenten der Vektoren kommutieren, gilt die Jacobi-Identität, dass die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte verschwindet,

$\vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c}) +\vec{b}\times (\vec{c}\times\vec{a}) +\vec{c}\times (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\,.$

Lagrange-Identität

$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d}) - (\vec{b}\cdot\vec{c})(\vec{a}\cdot\vec{d})$.

Für das Quadrat der Norm erhält man hieraus

$|\vec{a}\times\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 \, |\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2 = |\vec{a}|^ 2|\vec{b}|^ 2(1-\cos^ 2 \theta)\,,$

also ist der Betrag des Kreuzproduktes

$|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}| \, |\vec{b}|\, \sin \theta\,.$

Zusammenhang mit Lie-Algebra

Für einen Körper $\mathbb K$ bildet der $\mathbb K$-Vektorraum $\mathbb R^3$ zusammen mit dem Kreuzprodukt eine Lie-Algebra.

Kreuzprodukt im $\mathbb{R}^n$

Das Kreuzprodukt aus zwei gewöhnlichen (polaren) $\mathbb{R}^3$ Vektoren liefert einen sogenannten axialen Vektor. Streng genommen handelt es sich um einen Tensor zweiter Stufe mit drei unabhängigen Komponenten:

$(a \times b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i$

Mit dieser Definition lässt sich der Tensor auch für Vektorräume n > 3 definieren. Im $\mathbb{R}^4$ hat das Kreuzprodukt beispielsweise 6 unabhängige Elemente. Sie lassen sich nicht mehr als $\mathbb{R}^4$-Vektor darstellen^[1]

Siehe auch

• Rotation-Rechenregeln
• Skalarprodukt

Einzelnachweise

1. ↑ http://folk.uio.no/patricg/teaching/a112/levi-civita/ Levi-Civita symbol and cross product vector/tensor

Weblinks

• Java-Applet der Universität von Syracuse zum Vektor- oder Kreuzprodukt